المبلغ في المقام. التخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر. الخطوات الأساسية للتخلص من اللاعقلانية في مقام الكسر

عند تحويل تعبير جبري كسري يحتوي مقامه على تعبير غير منطقي، يحاول المرء عادةً تمثيل الكسر بحيث يكون مقامه عقلانيًا. إذا كانت A،B،C،D،... عبارة عن بعض التعبيرات الجبرية، فيمكنك تحديد القواعد التي يمكنك من خلالها التخلص من العلامات الجذرية في مقام تعبيرات النموذج

وفي جميع هذه الحالات يتم التحرر من اللاعقلانية عن طريق ضرب بسط الكسر ومقامه بعامل مختار بحيث يكون حاصل ضربه بمقام الكسر عقلانيا.

1) التخلص من اللاعقلانية في مقام كسر الشكل . في ضرب البسط والمقام

مثال 1. .

2) في حالة كسور النموذج . اضرب البسط والمقام بعامل غير منطقي

على التوالي، أي إلى التعبير غير العقلاني المترافق.

معنى الإجراء الأخير هو أنه في المقام يتم تحويل ناتج المجموع والفرق إلى فرق بين المربعات، والذي سيكون بالفعل تعبيرًا عقلانيًا.

مثال 2. حرر نفسك من اللاعقلانية في مقام التعبير:

الحل: أ) اضرب بسط الكسر ومقامه في التعبير . نحصل على (بشرط)

3) في حالة عبارات مثل

يتم التعامل مع المقام كمجموع (الفرق) وضربه في المربع الجزئي للفرق (المجموع) للحصول على مجموع (الفرق) من المكعبات ((20.11)، (20.12)). يتم ضرب البسط أيضًا بنفس العامل.

مثال 3. حرر نفسك من اللاعقلانية في مقام التعبيرات:

الحل، أ) باعتبار مقام هذا الكسر هو مجموع الأرقام و1، اضرب البسط والمقام في المربع الجزئي للفرق بين هذه الأرقام:

أو أخيرًا:

في بعض الحالات، من الضروري إجراء تحويل ذو طبيعة معاكسة: لتحرير الكسر من اللاعقلانية في البسط. يتم تنفيذه بنفس الطريقة تمامًا.

مثال 4. حرر نفسك من اللاعقلانية في بسط الكسر.

في هذا الموضوع، سوف نتناول المجموعات الثلاث للنهايات غير العقلانية المذكورة أعلاه. لنبدأ بالحدود التي تحتوي على عدم اليقين من النموذج $\frac(0)(0)$.

الكشف عن عدم اليقين $\frac(0)(0)$.

عادةً ما يتكون حل الأمثلة القياسية من هذا النوع من خطوتين:

نتخلص من اللاعقلانية التي تسببت في عدم اليقين عن طريق الضرب بما يسمى بالتعبير "المترافق"؛
إذا لزم الأمر، قم بتحليل التعبير في البسط أو المقام (أو كليهما)؛
نقوم بتقليل العوامل التي تؤدي إلى عدم اليقين ونحسب القيمة المطلوبة للحد.

سيتم شرح مصطلح "التعبير المترافق" المستخدم أعلاه بالتفصيل في الأمثلة. في الوقت الحالي ليس هناك سبب للخوض في الأمر بالتفصيل. بشكل عام، يمكنك الذهاب في الاتجاه الآخر، دون استخدام التعبير المترافق. في بعض الأحيان، يمكن للبديل المختار جيدًا القضاء على اللاعقلانية. مثل هذه الأمثلة نادرة في الاختبارات القياسية، لذلك سنتناول مثال واحد فقط رقم 6 لاستخدام الاستبدال (راجع الجزء الثاني من هذا الموضوع).

سنحتاج إلى العديد من الصيغ، والتي سأكتبها أدناه:

\begin(معادلة) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(معادلة) \begin(معادلة) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2) +ab+b^2) \end(معادلة) \begin(معادلة) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(معادلة) \begin (معادلة) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(معادلة)

بالإضافة إلى ذلك، نفترض أن القارئ يعرف صيغ حل المعادلات التربيعية. إذا كان $x_1$ و$x_2$ هما جذور ثلاثية الحدود $ax^2+bx+c$، فيمكن تحليلها باستخدام الصيغة التالية:

\begin(معادلة) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(معادلة)

الصيغ (1)-(5) كافية لحل المسائل القياسية، والتي سننتقل إليها الآن.

المثال رقم 1

ابحث عن $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

بما أن $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ و $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$، ففي النهاية المعطاة لدينا حالة عدم يقين بالصيغة $\frac(0)(0)$. الفرق $\sqrt(7-x)-2$ يمنعنا من الكشف عن عدم اليقين هذا. ومن أجل التخلص من هذه اللاعقلانية، يتم استخدام الضرب بما يسمى "التعبير المترافق". سننظر الآن في كيفية عمل هذا الضرب. اضرب $\sqrt(7-x)-2$ في $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

لفتح الأقواس، قم بتطبيق ، مع استبدال $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ في الجانب الأيمن من الصيغة المذكورة:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

كما ترون، إذا قمت بضرب البسط في $\sqrt(7-x)+2$، فسيختفي الجذر (أي اللاعقلانية) في البسط. سيكون هذا التعبير $\sqrt(7-x)+2$ المترافقةللتعبير $\sqrt(7-x)-2$. ومع ذلك، لا يمكننا ببساطة ضرب البسط في $\sqrt(7-x)+2$، لأن هذا سيؤدي إلى تغيير الكسر $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ تحت الحد . تحتاج إلى ضرب كل من البسط والمقام في نفس الوقت:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

تذكر الآن أن $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ وافتح الأقواس. وبعد فتح الأقواس وإجراء تحويل صغير $3-x=-(x-3)$، نقوم بتبسيط الكسر بمقدار $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1) )(\sqrt(7-x)+2) $$

اختفت حالة عدم اليقين $\frac(0)(0)$. الآن يمكنك بسهولة الحصول على إجابة هذا المثال:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

ألاحظ أن التعبير المترافق يمكن أن يغير بنيته، اعتمادًا على نوع اللاعقلانية الذي يجب إزالته. في المثالين رقم 4 ورقم 5 (راجع الجزء الثاني من هذا الموضوع) سيتم استخدام نوع مختلف من التعبير المترافق.

إجابة: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

المثال رقم 2

ابحث عن $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

بما أن $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ و $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$، ثم نحن نتعامل مع عدم اليقين من النموذج $\frac(0)(0)$. دعونا نتخلص من اللاعقلانية في مقام هذا الكسر. للقيام بذلك، نضيف كلاً من البسط والمقام للكسر $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ إلى التعبير $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ مقترن بالمقام:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0) )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

مرة أخرى، كما في المثال رقم 1، تحتاج إلى استخدام الأقواس للتوسيع. بالتعويض $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ في الجانب الأيمن من الصيغة المذكورة، نحصل على التعبير التالي للمقام:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ يمين)=\\ =\يسار(\sqrt(x^2+5)\يمين)^2-\يسار(\sqrt(7x^2-19)\يمين)^2=x^2+5-(7x) ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

دعنا نعود إلى حدنا:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ فارك(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(س ^ 2-4) $$

في المثال رقم 1، تم تقليل الكسر مباشرة بعد الضرب بالتعبير المرافق. هنا، قبل التخفيض، سيتعين عليك تحليل التعبيرات $3x^2-5x-2$ و$x^2-4$، وعندها فقط انتقل إلى التخفيض. لتحليل التعبير $3x^2-5x-2$ تحتاج إلى استخدام . أولاً، دعونا نحل المعادلة التربيعية $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(محاذاة) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ فارك(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(محاذاة) $$

استبدال $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ في ، سيكون لدينا:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ فارك (1)(3)\يمين)(x-2)=\يسار (3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\يمين)(x-2) =(3x+1)( س-2). $$

حان الوقت الآن لتحليل التعبير $x^2-4$. دعنا نستخدم، ونستبدل $a=x$, $b=2$ به:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

دعونا نستخدم النتائج التي تم الحصول عليها. بما أن $x^2-4=(x-2)(x+2)$ و$3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$، إذن:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

بالتبسيط بين القوسين $x-2$ نحصل على:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^) 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

الجميع! لقد اختفى عدم اليقين. خطوة أخرى ونأتي للإجابة:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19))))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

إجابة: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

في المثال التالي، فكر في الحالة التي توجد فيها حالات غير عقلانية في كل من بسط الكسر ومقامه.

المثال رقم 3

ابحث عن $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

بما أن $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ و$\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$، إذن لدينا حالة عدم يقين من النموذج $ \frac (0)(0)$. نظرًا لأن الجذور في هذه الحالة موجودة في كل من المقام والبسط، فمن أجل التخلص من عدم اليقين، سيتعين عليك الضرب بين قوسين في وقت واحد. أولاً، اقترن التعبير $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ بالبسط. وثانيًا، يرتبط التعبير $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ بالمقام.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) )=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(محاذاة) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

للتعبير $x^2-8x+15$ نحصل على:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(محاذاة) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(محاذاة)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

استبدال التوسعات الناتجة $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ و $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ في الحد قيد النظر، سيكون:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5) \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

إجابة: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) )=-6$.

في الجزء (الثاني) التالي، سننظر في بضعة أمثلة أخرى يكون فيها التعبير المترافق بشكل مختلف عما كان عليه في المسائل السابقة. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أن الغرض من استخدام التعبير المترافق هو التخلص من اللاعقلانية التي تسبب عدم اليقين.

التحرر من اللاعقلانية في مقام الكسر

2015-06-13

التعبير غير العقلاني المترافق

عند تحويل تعبير جبري كسري يحتوي مقامه على تعبير غير منطقي، يحاول المرء عادةً تمثيل الكسر بحيث يكون مقامه عقلانيًا. إذا كانت $A، B، C، D، \cdots$ عبارة عن بعض التعبيرات الجبرية، فيمكنك تحديد القواعد التي يمكنك من خلالها التخلص من العلامات الجذرية في مقام تعبيرات النموذج

$\frac(A)(\sqrt[n](B)))، \frac(A)(B+C \sqrt(D))، \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D) )))، \frac(A)( \sqrt(B) \pm \sqrt(C))$، إلخ.

1) للتخلص من اللاعقلانية في مقام جزء من الصورة $A/ \sqrt[n](B)$، اضرب البسط والمقام بـ $\sqrt[n](B^(n-1)) $.
$\frac(A)(\sqrt[n](B)) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(\sqrt[n](B) \sqrt[n] (B^(n-1))) = \frac(A \sqrt[n](B^(n-1)))(B)$.

مثال 1. $\frac(4a^(2)b)(\sqrt(2ac)) = \frac(4a^(2)b \sqrt(4a^(2)c^(2)))(2ac) = \frac(2ab)(c) \sqrt(4a^(2)c^(2))$.

في حالة الكسور من الشكل $\frac(A)(B+ C \sqrt(D))، \frac(A)(\sqrt(B) + c \sqrt(D))$ اضرب البسط والمقام ب عامل غير عقلاني
$B – C \sqrt(D)$ أو $\sqrt(B) – c \sqrt(D)$
على التوالي، أي إلى التعبير غير العقلاني المترافق.

مثال 2. حرر نفسك من اللاعقلانية في مقام التعبير:
أ) $\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x)$; ب) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3))$.

الحل: أ) اضرب بسط الكسر ومقامه في
التعبير $\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x$. نحصل على (بشرط أن $y \neq 0$)
$\frac(xy)(\sqrt(x^(2) + y^(2)) + x) = \frac(xy (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)) ((x^(2) + y^(2)) – x^(2)) = \frac(x)(y) (\sqrt(x^(2) + y^(2)) - x)$ ;
ب) $\frac(2)(\sqrt(5) - \sqrt(3)) = \frac(2(\sqrt(5) + \sqrt(3)))(5 - 3) = \sqrt(5) ) + \sqrt(3)$.
3) في حالة عبارات مثل
$\frac(A)(B \pm C \sqrt(D)))، \frac(A)(\sqrt(B) \pm C \sqrt(D))$
يتم التعامل مع المقام كمجموع (الفرق) وضربه في المربع الجزئي للفرق (المجموع) للحصول على مجموع (الفرق) من المكعبات. يتم ضرب البسط أيضًا بنفس العامل.

مثال 3. حرر نفسك من اللاعقلانية في مقام التعبيرات:
أ)$\frac(3)(\sqrt(5) + 1)$; ب)$\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b))$

الحل، أ) باعتبار مقام هذا الكسر هو مجموع الأرقام $\sqrt(5)$ و$1$، اضرب البسط والمقام في المربع الجزئي للفرق بين هذه الأرقام:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3 (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) +1))((\sqrt(5) + 1) (\sqrt(5^(2)) - \sqrt(5) + 1)) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))((\sqrt(5))^ (3) +1)$،
أو أخيرًا:
$\frac(3)(\sqrt(5) + 1) = \frac(3(\sqrt(25) - \sqrt(5) + 1))(6) = \frac(\sqrt(25) - \ الجذر التربيعي(5) + 1)(2)$
ب) $\frac(1)(\sqrt(a) – 2 \sqrt(b)) = \frac(\sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^( 2)))((\sqrt(a))^(3) – (2 \sqrt(b))^(3)) = \frac( \sqrt(a^(2)) + 2 \sqrt(ab) + 4 \sqrt(b^(2)))(a-8b)$.

مثال 4. حرر نفسك من اللاعقلانية في البسط $\frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b)$.
حل. $ \frac(\sqrt(a+b) - \sqrt(a-b))(2b) = \frac((a+b) – (a-b))(2b(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b) ))) = \frac(1)(\sqrt(a+b) + \sqrt(a-b))$

الدرس رقم 1 موضوع الدرس: "التحرر من اللاعقلانية في مقام الكسر"

الأهداف:

التعليمية:

التنموية:

التعليمية:تعزيز الاتساق في أفعالك.

نوع الدرس:تعلم اشياء جديده

معيار الدرس:

تكون قادرة على إيجاد وسيلة للتخلص من اللاعقلانية

فهم معنى "التعبير المترافق"

تكون قادرة على التخلص من اللاعقلانية في القاسم.

معدات: بطاقات للعمل المستقل.

خلال الفصول الدراسية

القليل من الفكاهة:

هل تعرف كيفية استخراج الجذور؟ - يسأل المعلم

نعم بالتأكيد. تحتاج إلى سحب ساق النبات بقوة أكبر، وستتم إزالة جذره من التربة.

لا، قصدت جذرًا آخر، على سبيل المثال، من تسعة.

سيكون "تسعة" لأن "th" لاحقة.

أعني الجذر التربيعي.

لا توجد جذور تربيعية. فهي ليفية وعلى شكل قضيب.

الجذر التربيعي الحسابي لتسعة.

هذا ما سيقولونه! الجذر التربيعي لتسعة = 3!

هل تعرف كيفية استخراج الجذور؟

2. "التكرار أم التعلم."

(8 دقائق)

2. فحص المنزل/ المنزل№ 168 1)4; 2)10; 3)4;4) 8

3. الاحماء.اتبع الخطوات (الشريحة 1). تحقق في دائرة عكس اتجاه عقارب الساعة.

1. اختر عاملاً غير معروف (الشريحة2)

التقسيم إلى مجموعات: حسب الأرقام المختارة.

تحقق في أزواج من تكوين الاستبدال.

إنهم يعملون بشكل فردي ويتحققون ويقيمون النقاط.

(المرفق 1)

3. "الكتاب هو كتاب، لكن استخدم عقلك" (5 دقائق)

(الشريحة 3) قام صديقان بحل معادلة
وتلقى إجابات مختلفة. اختار أحدهم x = ، قمت بالفحص. والثاني وجد العامل المجهول بقسمة الناتج على
وحصلت على س = . ايهم الاصح؟ هل يمكن للمعادلة الخطية أن يكون لها جذرين؟ التعبير الأكثر ملاءمة للحسابات هو التعبير الذي لا يحتوي على عدم عقلانية في المقام.

موضوع الدرس(الشريحة 4) : التحرر من اللاعقلانية في مقام الكسر

الأهداف(الشريحة 5) : التعرف على طرق التخلص من اللاعقلانية في مقامات الكسر. تنمية القدرة على تحرير القاسم من اللاعقلانية؛

حل وتحقق في أزواج من التحولات.

يناقشون الوضع ويتوصلون إلى نتيجة.

اكتب الموضوع

صياغة الأهداف: التعرف على طرق التخلص من اللاعقلانية في مقامات الكسر.

تطوير القدرة على تحديد الطريق لتحرير نفسك من اللاعقلانية؛

4. العمل على مواد جديدة.

(10 دقائق)

كيف تتخلص من اللاعقلانية في القاسم؟ هل تريد أن تعرف؟

العمل في مجموعات على مواد جديدة

أداء المجموعة

التثبيت (الشريحة 6)

إنهم يعملون مع مخطط داعم. (الملحق 2)

حل الأمثلة.

(الملحق 3)

تبادل المعلومات.

5. الشحن (3 دقيقة)

عمل التمارين

6. العمل المستقل

(10 دقائق)

بواسطة بطاقات متعددة المستويات

1 في:

2 بوصة:

3 بوصة:

قم بالتنفيذ بشكل فردي، وتحقق من خلال تبادل دفاتر الملاحظات مع مجموعة أخرى.

يتم إدخال النقاط في بطاقة أداء المجموعة.

(المرفق 1)

7. المهمة الإبداعية

(2 دقيقة)

القرد - بائعة برتقالية (الشريحة 7)

بعد أن وصلت ذات مرة إلى داشا الخاص بي ،

لقد وجدت مشكلة هناك مع المتطرفين.

بدأت في رميهم في كل مكان.

نسألكم يا بنات ويا شباب

حل المشكلة على ذيل القرد.

هل تعتقد أننا انتهينا من دراسة هذا الموضوع؟ دعونا نواصل في الدرس التالي.

يتحدثون عما سيتعلمونه عن هذا في الدرس التالي.

8. الواجبات المنزلية: (2 دقيقة)

ص.19 (الشريحة 7)

المستوى 1: رقم 170 (1-6)

المستوى 2: رقم 170 (1-6 و 9.12)

المهمة الإبداعية: مهمة مارتيشكين.

اكتب

9. ملخص الدرس. انعكاس

(3 دقيقة)

تم إرفاق نجمتين ورغبة على الملصقات بالرمز المحدد (الشريحة 7)

يتم تحويل النقاط إلى درجة ويتم إعطاء بطاقة أداء جماعية للمعلم.

المرفق 1

بطاقة أداء المجموعة.

0-8 نقاط

اختر المضاعف

0-8 نقاط

العمل ضمن مجموعة على مواد جديدة

0-5 نقاط

نفسي. وظيفة

0-5 نقاط

نشاط الدرس

0-5 نقاط

الملحق 2

الملاحظات الداعمة

إذا كان مقام الكسر الجبري يحتوي على علامة الجذر التربيعي، يقال أن المقام يحتوي على غير عقلانية. يُطلق على تحويل التعبير إلى شكل لا توجد فيه علامات الجذر التربيعي في مقام الكسر التحرر من اللاعقلانية في القاسم

هناك عدة أنواع اللاعقلانية الكسورفي القاسم. ويرتبط بوجود جذر جبري فيه بنفس الدرجات أو بدرجات مختلفة. من أجل التخلص من اللاعقلانيةفمن الضروري إجراء عمليات حسابية معينة حسب الموقف.

تعليمات

1. قبل التخلص منها اللاعقلانية الكسورفي المقام يجب عليك تحديد نوعه، وبناء على ذلك، مواصلة الحل. في الواقع، أي عدم عقلانية ينبع من مجرد وجود الجذور؛ وتفترض خوارزميات مختلفة مجموعاتها ودرجاتها المختلفة.

2. الجذر التربيعي للمقام، التعبير بالصيغة a/?bأدخل عاملًا إضافيًا يساوي?b. لكي لا يتغير الكسر، من الضروري ضرب كل من البسط والمقام: a/?b ? (أ ؟ ب)/ب.مثال 1: 10/?3 ؟ (10؟3)/3.

3. التواجد تحت السطر الكسورجذر القوة الكسرية بالصيغة m/n، وn>m. يبدو هذا التعبير كما يلي: a/?(b^m/n).

4. تخلص من مماثلة اللاعقلانيةأيضًا عن طريق إدخال مضاعف، وهذه المرة أكثر صعوبة: b^(n-m)/n، أي. من أس الجذر نفسه، من الضروري طرح درجة التعبير تحت علامته. عندها ستبقى القوة الأولى فقط في المقام: a/(b^m/n) ؟ أ ?(ب^(ن-م)/ن)/ب مثال 2: 5/(4^3/5) ؟ 5 ?(4^2/5)/4 = 5 ?(16^1/5)/4.

5. مجموع الجذور التربيعية اضرب كلا المكونين الكسوربفارق مماثل. بعد ذلك، من الإضافة غير المنطقية للجذور، يتحول المقام إلى اختلاف التعبيرات/الأرقام تحت علامة الجذر: a/(?b + ?c) ? أ (؟ب – ؟ج)/(ب – ج).مثال 3: 9/(?13 + ?23) ? 9 (?13 –?23)/(13 – 23) = 9 (?23 –?13)/10.

6. مجموع/فرق الجذور المكعبةاختر المربع غير الكامل للفرق كعامل إضافي إذا كان المقام يحتوي على مجموع، وبالتالي المربع غير الكامل لمجموع الفرق بين الجذور: a/(?b ± ?c) ? أ (?b? ? ?(b c) + ?c?)/ ((?b ± ?c) ?b? ?(b c) + ?c?) ?a (?b? ? ?(b c) + ? ج؟)/(ب ± ج).مثال 4: 7/(؟5 + ?4) ؟ 7 (؟25-؟20 +؟16)/9.

7. إذا كانت المشكلة تحتوي على جذر تربيعي وجذر تكعيبي، فقم بتقسيم الحل إلى مرحلتين: اشتقاق الجذر التربيعي من المقام تدريجيًا، ثم الجذر التكعيبي. يتم ذلك وفقًا للطرق المعروفة لك بالفعل: في الإجراء الأول، عليك اختيار مضاعف الفرق/مجموع الجذور، وفي الإجراء الثاني - المربع غير المكتمل للمجموع/الفرق.

نصيحة 2: كيفية التخلص من اللاعقلانية في المقام

لا يحتوي على التدوين الصحيح لعدد كسري اللاعقلانيةالخامس المقام - صفة مشتركة - حالة. من السهل فهم مثل هذا التدوين من حيث المظهر، وبالتالي متى اللاعقلانيةالخامس المقام - صفة مشتركة - حالةمن الذكاء التخلص منه. في هذه الحالة، يمكن أن تصبح اللاعقلانية بسطًا.

تعليمات

1. للبدء، دعونا نلقي نظرة على مثال بدائي - 1/sqrt(2). الجذر التربيعي لـ 2 هو عدد غير نسبي المقام - صفة مشتركة - حالةفي هذه الحالة، تحتاج إلى ضرب بسط ومقام الكسر في مقامه. وهذا سيوفر عددا معقولا في المقام - صفة مشتركة - حالة. في الواقع، sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. سيؤدي ضرب جذرين تربيعيين متطابقين ببعضهما إلى الحصول على ما يقع تحت كل الجذور: اثنان في هذه الحالة، والنتيجة: 1/sqrt (2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. هذه الخوارزمية مناسبة أيضًا للكسور المقام - صفة مشتركة - حالةحيث يتم ضرب الجذر بعدد معقول. يجب ضرب البسط والمقام في هذه الحالة بالجذر الموجود فيه المقام - صفة مشتركة - حالةمثال: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt( 3)/6.

2. وبطبيعة الحال، ينبغي القيام بشيء من هذا القبيل إذا المقام - صفة مشتركة - حالةلم يتم العثور على الجذر التربيعي، ولكن، على سبيل المثال، الجذر التكعيبي أو أي درجة أخرى. الجذر في المقام - صفة مشتركة - حالةمن الضروري الضرب في نفس الجذر، ويتم ضرب البسط أيضًا في نفس الجذر. ثم سوف يذهب الجذر إلى البسط.

3. وفي حالة أكثر صعوبة في المقام - صفة مشتركة - حالةيوجد مجموع أو فرق لعدد غير نسبي وعدد معقول أو رقمين غير نسبيين، وفي حالة مجموع (الفرق) لجذرين تربيعيين أو جذر تربيعي وعدد معقول، يمكنك استخدام الصيغة الشهيرة (x+y). )(س-ص) = (س^2)-(ص^2). وسوف تساعدك على التخلص من اللاعقلانيةالخامس المقام - صفة مشتركة - حالة. إذا كان في المقام - صفة مشتركة - حالةالفرق، فأنت بحاجة إلى ضرب البسط والمقام بمجموع نفس الأرقام، إذا كان المجموع - ثم بالفرق. سيتم استدعاء هذا المبلغ أو الفرق المضروب بالتعبير في المقام - صفة مشتركة - حالةتظهر نتيجة هذا المخطط بوضوح في المثال: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2 )-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

4. إذا كان في المقام - صفة مشتركة - حالةهناك مجموع (فرق) يوجد فيه جذر لدرجة أكبر، عندها يصبح الوضع غير تافه والتحرر من اللاعقلانيةالخامس المقام - صفة مشتركة - حالةغير مقبول دائمًا

نصيحة 3: كيف تحرر نفسك من اللاعقلانية في مقام الكسر

يتكون الكسر من البسط الموجود في أعلى السطر، والمقام الذي يقسمه الموجود في الأسفل. الرقم غير العقلاني هو رقم لا يمكن تمثيله في النموذج الكسورمع عدد صحيح في البسط وعدد طبيعي فيه المقام - صفة مشتركة - حالة. مثل هذه الأرقام هي، على سبيل المثال، الجذر التربيعي للرقم 2 أو باي. تقليديا، عند الحديث عن اللاعقلانية في المقام - صفة مشتركة - حالة، الجذر ضمني.

تعليمات

1. القضاء على اللاعقلانية عن طريق الضرب بالمقام. بهذه الطريقة سيتم نقل اللاعقلانية إلى البسط. عند ضرب البسط والمقام بنفس الرقم تكون القيمة الكسورلم يتغير. استخدم هذا الخيار إذا كان كل مقام جذرًا.

2. اضرب البسط والمقام في المقام بالعدد المطلوب من المرات، اعتمادًا على الجذر. إذا كان الجذر مربعا، فمرة واحدة.

3. النظر في مثال الجذر التربيعي. خذ الكسر (56-ص)/√(س+2). يحتوي على البسط (56-y) والمقام غير العقلاني √(x+2)، وهو الجذر التربيعي.

4. اضرب البسط والمقام الكسورإلى المقام، أي إلى √(x+2). المثال الأصلي (56-y)/√(x+2) سيصبح ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). ستكون النتيجة ((56-y)*√(x+2))/(x+2). الآن الجذر في البسط، وفي المقام - صفة مشتركة - حالةلا يوجد اللاعقلانية.

5. ليس القاسم دائمًا الكسوركل واحد تحت الجذر. تخلص من اللاعقلانية باستخدام الصيغة (x+y)*(x-y)=x²-y².

6. فكر في مثال للكسر (56-y)/(√(x+2)-√y). مقامها غير العقلاني يحتوي على الفرق بين جذرين تربيعيين. أكمل المقام ليحصل على (x+y)*(x-y).

7. اضرب المقام في مجموع الجذور. اضرب البسط بنفس الطريقة لتحصل على القيمة الكسورلم يتغير. سيأخذ الكسر الشكل ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y) ).

8. استفد من الخاصية المذكورة أعلاه (x+y)*(x-y)=x²-y² وحرر المقام من اللاعقلانية. ستكون النتيجة ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). الآن أصبح الجذر في البسط، وقد تخلص المقام من اللاعقلانية.

9. في الحالات الصعبة، كرر كلا الخيارين، باستخدام حسب الضرورة. لاحظ أنه ليس من الممكن دائمًا التخلص من اللاعقلانية المقام - صفة مشتركة - حالة .

الكسر الجبري هو تعبير بالصيغة A/B، حيث يمثل الحرفان A وB أي تعبيرات رقمية أو حرفية. غالبًا ما يكون للبسط والمقام في الكسور الجبرية شكل ضخم، لكن العمليات مع مثل هذه الكسور يجب أن تتم وفقًا لنفس القواعد المتبعة مع العمليات العادية، حيث يكون البسط والمقام أعدادًا صحيحة موجبة.

تعليمات

1. إذا أعطيت مختلطة الكسور، قم بتحويلها إلى كسور غير منتظمة (الكسر الذي يكون فيه البسط أكبر من المقام): اضرب المقام في الجزء بالكامل وأضف البسط. وبالتالي فإن الرقم 2 1/3 سيتحول إلى 7/3. للقيام بذلك، اضرب 3 في 2 وأضف واحدًا.

2. إذا كنت بحاجة إلى تحويل عدد عشري إلى كسر غير حقيقي، ففكر في الأمر كقسمة رقم بدون نقطة عشرية على رقم به عدد من الأصفار يساوي عدد الأرقام بعد العلامة العشرية. لنفترض، تخيل الرقم 2.5 على أنه 25/10 (إذا قمت بتقصيره، فستحصل على 5/2)، والرقم 3.61 - على أنه 361/100. غالبًا ما يكون التعامل مع الكسور غير الصحيحة أسهل من التعامل مع الكسور المختلطة أو العشرية.

3. إذا كانت الكسور لها مقامات متطابقة وتحتاج إلى إضافتها، فما عليك سوى إضافة البسطين؛ تبقى القواسم دون تغيير.

4. إذا كنت بحاجة إلى طرح كسور ذات مقامات متطابقة، فاطرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول. القواسم أيضا لا تتغير.

5. إذا كنت بحاجة إلى إضافة كسور أو طرح كسر من آخر، وكانت لها مقامات مختلفة، فقم بتقليل الكسور إلى مقام مشترك. للقيام بذلك، ابحث عن رقم سيكون المضاعف العالمي الأصغر (LCM) لكلا المقامين أو عدة أرقام إذا كانت الكسور أكبر من 2. LCM هو الرقم الذي سيتم تقسيمه إلى مقامات جميع الكسور المعطاة. على سبيل المثال، بالنسبة للرقمين 2 و5، هذا الرقم هو 10.

6. بعد علامة المساواة، ارسم خطًا أفقيًا واكتب هذا الرقم (NOC) في المقام. أضف عوامل إضافية إلى الحد بأكمله - الرقم الذي تحتاج إلى ضرب كل من البسط والمقام فيه للحصول على المضاعف المشترك الأصغر. اضرب البسطين خطوة بخطوة في العوامل الإضافية، مع الاحتفاظ بعلامة الجمع أو الطرح.

7. احسب الإجمالي أو قلله إذا لزم الأمر أو حدد الجزء بأكمله. على سبيل المثال، هل تحتاج إلى طيها؟ و؟. المضاعف المشترك الأصغر لكلا الكسرين هو 12. ثم العامل الإضافي للكسر الأول هو 4، للكسر الثاني - 3. الإجمالي: ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. إذا تم إعطاء مثال للضرب، فاضرب البسطين معًا (سيكون هذا بسط المجموع) والمقامات (سيكون هذا مقام المجموع). في هذه الحالة، ليست هناك حاجة لاختزالها إلى قاسم مشترك.

9. لتقسيم الكسر على الكسر، تحتاج إلى قلب الكسر الثاني رأسًا على عقب وضرب الكسور. أي أن أ/ب: ج/د = أ/ب · د/ج.

10. عامل البسط والمقام حسب الحاجة. على سبيل المثال، انقل العامل العالمي من القوس أو قم بتوسيعه وفقًا لصيغ الضرب المختصرة، بحيث يمكنك بعد ذلك، إذا لزم الأمر، تقليل البسط والمقام بواسطة GCD - الحد الأدنى للمقسوم الشامل.

ملحوظة!
أضف أرقامًا تحتوي على أرقام وحروف من نفس النوع مع حروف من نفس النوع. لنفترض أنه من المستحيل إضافة 3a و4b، مما يعني أن مجموعهما أو الفرق بينهما سيبقى في البسط - 3a±4b.

في الحياة اليومية، تعد الأرقام المزيفة أكثر شيوعًا: 1، 2، 3، 4، وما إلى ذلك. (5 كجم من البطاطس)، والأعداد الكسرية غير الصحيحة (5.4 كجم من البصل). يتم تقديم العديد منهم في استمارةالكسور العشرية. ولكن تمثل الكسر العشري في استمارة الكسورمن السهل جدا.

تعليمات

1. لنفترض أن الرقم "0.12" مُعطى. إذا لم تقم بتقليل هذا الكسر العشري وتقديمه كما هو، فسيبدو كما يلي: 12/100 ("اثني عشر جزءًا من مائة"). للتخلص من المئة في المقام، يجب عليك تقسيم كل من البسط والمقام على رقم يقسمهما إلى أعداد صحيحة. هذا الرقم هو 4. ثم بقسمة البسط والمقام نحصل على الرقم: 3/25.

2. إذا نظرنا أكثر إلى الحياة اليومية، يمكننا أن نرى في كثير من الأحيان على بطاقة أسعار المنتجات أن وزنها، على سبيل المثال، 0.478 كجم أو ما إلى ذلك، ومن السهل أيضًا تخيل هذا الرقم استمارة الكسور:478/1000 = 239/500. هذا الكسر قبيح للغاية، وإذا كان هناك احتمال، فسيتم السماح لهذا الكسر العشري بالتخفيض أكثر. وكل ذلك بنفس الطريقة: اختيار الرقم الذي يقسم البسط والمقام. ويسمى هذا الرقم العامل العالمي الأكبر. يُسمى العامل "الأكبر" لأنه من الأسهل بكثير تقسيم كل من البسط والمقام على 4 (كما في المثال الأول) بدلاً من تقسيمه مرتين على 2.

فيديو حول الموضوع

عدد عشري جزء- متنوع الكسور، الذي يحتوي على رقم "دائري" في المقام: 10، 100، 1000، وما إلى ذلك، على سبيل المثال، جزء 5/10 له علامة عشرية تبلغ 0.5. وبناء على هذه الأطروحة، جزءيمكن تمثيلها كرقم عشري الكسور .

تعليمات

1. ممكن، يجب تمثيله بالكسر العشري جزء 18/25. أولاً، عليك التأكد من ظهور أحد الأرقام "الدائرية" في المقام: 100، 1000، إلخ. للقيام بذلك، تحتاج إلى ضرب المقام في 4. لكن ستحتاج إلى ضرب كل من البسط والمقام في 4.

2. ضرب البسط والمقام الكسور 18/25 بنسبة 4، اتضح 72/100. تم تسجيل هذا جزءفي شكل عشري: 0.72.

عند قسمة كسرين عشريين، عندما لا تكون هناك آلة حاسبة في متناول اليد، يواجه الكثيرون بعض الصعوبات. لا يوجد شيء صعب حقا هنا. عدد عشري الكسورتسمى كذلك إذا كان مقامها رقمًا مضاعفًا للرقم 10. كالعادة، تتم كتابة هذه الأرقام على سطر واحد ولها فاصلة تفصل الجزء الكسري عن الكل. على ما يبدو، بسبب وجود جزء كسري، والذي يختلف أيضًا في عدد الأرقام بعد العلامة العشرية، ليس من الواضح للكثيرين كيفية إجراء العمليات الحسابية بهذه الأرقام بدون آلة حاسبة.

سوف تحتاج

ورقة، قلم رصاص

تعليمات

1. اتضح أنه من أجل تقسيم كسر عشري على آخر، تحتاج إلى إلقاء نظرة على كلا الرقمين وتحديد أي منهما يحتوي على المزيد من الأرقام بعد العلامة العشرية. نحن نضرب كلا الرقمين في مضاعفات 10، أي. 10 أو 1000 أو 100000، عدد الأصفار الذي يساوي العدد الأكبر من الأرقام بعد العلامة العشرية لأحد الأرقام الأولية لدينا. الآن كلاهما عدد عشري الكسورتحولت إلى أعداد صحيحة عادية. خذ ورقة بقلم رصاص وافصل بين الرقمين الناتجين بـ "زاوية". نحصل على النتيجة.

2. لنفترض أننا بحاجة إلى قسمة الرقم 7.456 على 0.43. الرقم الأول به منازل عشرية أكثر (3 منازل عشرية)، لذلك نضرب كلا الرقمين ليس في 1000 ونحصل على عددين صحيحين بدائيين: 7456 و430. الآن نقسم 7456 على 430 بـ "زاوية" ونحصل على ذلك إذا تم قسمة 7.456 بحلول 0.43 سيخرج حوالي 17.3.

3. هناك طريقة تقسيم أخرى. كتابة الأعداد العشرية الكسورفي شكل كسور بدائية ذات بسط ومقام، في حالتنا هذه هي 7456/1000 و43/100. لاحقًا نكتب عبارة قسمة كسرين بدائيين: 7456*100/1000*43، بعد ذلك نقوم بتبسيط العشرات، نحصل على: 7456/10*43 = 7456/430 في الناتج النهائي نحصل مرة أخرى على قسمة 2 رقمين بدائيين 7456 و 430 يمكن إنتاجهما بـ "الزاوية".

فيديو حول الموضوع

نصائح مفيدة
وبالتالي فإن طريقة قسمة الكسور العشرية هي اختزالها إلى أعداد صحيحة، مع دعم ضرب كل منها في نفس العدد. إجراء العمليات بالأعداد الصحيحة كالعادة لا يسبب أي صعوبات لأي شخص.

فيديو حول الموضوع