Lekcija "Funkcije y = tgx, y = ctgx, njihove lastnosti in grafi." Lekcija "Funkcije y = tgx, y = ctgx, njihove lastnosti in grafi" Raziskovanje funkcij s tangento

Ta video vadnica obravnava lastnosti funkcij y =tgx, y = ctgx, pokaže, kako sestaviti njihove grafe.

Video vadnica se začne s pogledom na funkcijo y =tgx.

Lastnosti funkcije so poudarjene.

1) Domena funkcije y =tgx imenujemo vsa realna števila, razen x =π/2 + 2 πk. Tisti. na grafu ni točk, ki bi pripadale premici x =π/2 in x = -π/2, pa tudi x = 3π/2 in tako naprej (z enako periodičnostjo). Torej graf funkcije y =tgx bo sestavljen iz neskončnega števila vej, ki se bodo nahajale v prostorih med ravnimi črtami x = - 3π/2 in x = -π/2, x = -π/2 in x = π/2 in tako naprej.

2) Funkcija y =tgx je periodična, kjer je glavna perioda π. To potrjuje enakost tg(x- π ) = tg x =tg(x+π ) . Te enakosti smo preučevali že prej, avtor študente vabi, da se jih spomnijo, pri čemer poudarja, da za vsako veljavno vrednost t veljajo enakosti:

tg(t+ π ) = tg t, in c tg(t+π ) = ctg t. Posledica teh enakosti je, da če ena veja grafa funkcije y = tan x med vrsticami X = - π/2 in X= π/2, potem lahko preostale veje dobimo s premikom te veje vzdolž osi x za π, 2π in tako naprej.

3) Funkcija y =tgx je čudno, ker . tg (- x) =- tg x.

Nato preidimo na izdelavo grafa funkcije y =tgx. Kot izhaja iz zgoraj opisanih lastnosti funkcije, funkcija y =tgx periodične in neparne. Zato je dovolj, da zgradimo del grafa - eno vejo v enem intervalu in nato uporabimo simetrijo za prenos. Avtor podaja tabelo, v kateri so izračunane vrednosti tgx pri določenih vrednostih x za natančnejši izris. Te točke so označene na koordinatni osi in povezane z gladko črto. Ker Če je graf simetričen glede na izhodišče koordinat, potem je zgrajena enaka veja, simetrična glede na izhodišče koordinat. Kot rezultat dobimo eno vejo grafa y =tgx. Nato z uporabo premika vzdolž osi x za π, 2 π in tako naprej dobimo graf y =tgx.

Graf funkcije y =tgx imenujemo tangentoid, tri veje grafa, prikazane na sliki, pa so glavne veje tangentoida.

4) Funkcija y =tgx v vsakem od intervalov (- + ; +) se poveča.

5) Funkcijski graf y =tgx nima nobenih omejitev zgoraj in spodaj.

6) Funkcija y =tgx nima največje in najmanjše vrednosti.

7) Funkcija y =tgx neprekinjeno v katerem koli intervalu (- - π/2+π;π/2+π). Premico π/2+π imenujemo asimptota grafa funkcije y =tgx, Ker na teh točkah se graf funkcije prekine.

8) Niz funkcijskih vrednosti y =tgx imenujemo vsa realna števila.

Nadalje v video vadnici je podan primer: rešite enačbo z tgx. Za rešitev bomo zgradili 2 grafa funkcije pri in poiščite presečišča teh grafov: to je neskončna množica točk, katerih abscise se razlikujejo za πk. Koren te enačbe bo X= π/6 +πk.

Razmislite o grafu funkcije y =ctgx. Funkcijo lahko grafično prikažemo na dva načina.

Prva metoda vključuje izdelavo grafa, podobno kot izdelava grafa funkcije y =tgx. Zgradimo eno vejo funkcijskega grafa y = ctgx med vrsticami X= 0i X= π. Nato bomo z uporabo simetrije in periodičnosti zgradili druge veje grafa.

Druga metoda je preprostejša. Graf funkcije y = сtgx lahko dobimo s transformacijo tangent z uporabo redukcijske formule ztgx = - tg(x +π/2). Če želite to narediti, premaknimo eno vejo funkcijskega grafa y = tgx vzdolž osi x za π/2 v desno. Preostale veje dobimo tako, da to vejo premaknemo vzdolž osi x za π, 2π itd. Graf funkcije y = ctg x imenujemo tudi tangentoid, veja grafa v intervalu (0;π) pa je glavna veja tangentoida.

DEKODIRANJE BESEDILA:

Upoštevali bomo lastnosti funkcije y = tan x (y je enak tangensu x), y = ctg x (y je enak kotangensu x) in zgradili njihove grafe. Razmislite o funkciji y = tgx

Preden narišemo funkcijo y = tan x, zapišimo lastnosti te funkcije.

LASTNOST 1. Definicijsko področje funkcije y = tan x so vsa realna števila, razen števil oblike x = + πk (x je enak vsoti pi na dva in pi ka).

To pomeni, da na grafu te funkcije ni točk, ki bi pripadale premici x = (dobimo, če je k = 0 ka je enako nič) in premici x = (x je enak minus pi za dva) (mi dobimo, če je k = - 1 ka enako minus ena), in premica x = (x je enak trem pi za dva) (dobimo, če je k = 1 enako ena) itd. To pomeni, da je graf funkcije y = tan x bo sestavljen iz neskončnega števila vej, ki se bodo nahajale v intervalih med ravnimi črtami. In sicer v pasu med x = in x =-; v traku x = - in x = ; v traku x = in x = in tako naprej ad infinitum.

LASTNOST 2. Funkcija y = tan x je periodična z glavno periodo π. (Ker je dvojna enakost resnična

tan(x- π) = tanx = tan (x+π) tangens od x minus pi je enak tangensu od x in enak tangensu od x plus pi). To enakost smo upoštevali, ko smo preučevali tangens in kotangens. Naj ga spomnimo:

Za poljubno dopustno vrednost t veljajo enakosti:

tg (t + π)= tgt

ctg (t + π) = ctgt

Iz te enakosti sledi, da ko zgradimo vejo grafa funkcije y = tan x v intervalu od x = - in x =, dobimo preostale veje s premikom konstruirane veje vzdolž osi X za π, 2π , in tako naprej.

LASTNOST 3. Funkcija y = tan x je liha funkcija, saj velja enakost tg (- x) = - tan x.

Narišimo funkcijo y = tan x

Ker je ta funkcija periodična, sestavljena iz neskončnega števila vej (v traku med x = in x =, pa tudi v traku med x = in x = itd.) in liha, bomo zgradili del funkcije graf točko za točko v intervalu od nič do pi za dva (), nato pa uporabite simetrijo izvora in periodičnosti.

Zgradimo tabelo tangentnih vrednosti za risanje.

Najdemo prvo točko: vemo, da je pri x = 0 tan x = 0 (x je enak nič, tan x je prav tako enak nič); naslednja točka: pri x = tan x = (x je enak pi s šest, tangens x je enak korenu iz tri s tri); Upoštevajte naslednje točke: pri x = tg x = 1 (x enak pi s štirimi tan x je enak ena) in pri x = tg x = (x enak pi s tri tan x je enak kvadratnemu korenu od treh). Dobljene točke označimo na koordinatni ravnini in jih povežemo z gladko črto (slika 2).

Ker je graf funkcije simetričen glede na izhodišče koordinat, bomo isto vejo zgradili simetrično glede na izhodišče koordinat. (slika 3).

In končno, z uporabo periodičnosti dobimo graf funkcije y = tan x.

Konstruirali smo vejo grafa funkcije y = tan x v traku iz x = - in x =. Preostale veje zgradimo tako, da konstruirano vejo premaknemo vzdolž X osi za π, 2π itd.

Ustvarjena ploskev se imenuje tangentoid.

Del tangentoida, prikazan na sliki 3, se imenuje glavna veja tangentoida.

Na podlagi grafa bomo zapisali še nekaj lastnosti te funkcije.

LASTNOST 4. Funkcija y = tan x narašča na vsakem od intervalov (od minus pi za dva plus pi ka do pi za dva plus pi ka).

LASTNOST 5. Funkcija y = tan x ni omejena ne zgoraj ne spodaj.

LASTNOST 6. Funkcija y = tan x nima niti največje niti najmanjše vrednosti.

LASTNOST 7. Funkcija y = tan x je zvezna na kateremkoli intervalu oblike (od minus pi za dva plus pi ka do pi za dva plus pi ka).

Premica oblike x = + πk (x je enak vsoti pi na dva in pi ka) je navpična asimptota grafa funkcije, saj v točkah oblike x = + πk funkcija trpi diskontinuiteta.

LASTNOST 8. Množica vrednosti funkcije y = tan x so vsa realna števila, to je (e od eff je enako intervalu od minus neskončnosti do plus neskončnosti).

PRIMER 1. Rešite enačbo tg x = (tangens x je enak korenu tri krat tri).

rešitev. Izdelajmo grafe funkcij y = tan x v enem koordinatnem sistemu

(y je enak tangensu x) in y = (y je enak korenu iz tri, deljeno s tri).

Dobili smo neskončno veliko presečišč, katerih abscise se med seboj razlikujejo za πk (pi ka). Ker je tg x = pri x =, je abscisa presečišča na glavni veji enaka (pi za šest).

Vse rešitve te enačbe zapišemo s formulo x = + πk (x je enako pi krat šest plus pi ka).

Odgovor: x = + πk.

Zgradimo graf funkcije y = сtg x.

Razmislimo o dveh načinih gradnje.

Prvi način je podoben grafu funkcije y = tan x.

Ker je ta funkcija periodična, sestavljena iz neskončnega števila vej (v pasu med x = 0 in x =π, kot tudi v pasu med x =π in x = 2π itd.) in lihih, bomo zgradili del grafa točko za točko na intervalu od nič do pi za dva (), potem bomo uporabili simetrijo in periodičnost.

Za izdelavo grafa uporabimo tabelo vrednosti kotangensov.

Dobljene točke označite na koordinatni ravnini in jih povežite z gladko črto.

Ker je graf funkcije relativno simetričen, bomo isto vejo zgradili simetrično.

Uporabimo periodičnost in dobimo graf funkcije y = сtg x.

Zgradili smo vejo grafa funkcije y = сtg x v traku iz x = 0 in x =π. Preostale veje konstruiramo tako, da konstruirano vejo premaknemo vzdolž osi x za π, - π, 2π, - 2π itd.

Drugi način risanje funkcije y =сtg x.

Najlažji način za pridobitev grafa funkcije y =сtg x je transformacija tangensa z uporabo redukcijske formule (kotangens x je enak minus tangens vsote x in pi za dva).

V tem primeru najprej premaknemo vejo grafa funkcije y =tg x vzdolž abscisne osi v desno, dobimo

y = tg (x+), nato pa izvedemo simetrijo dobljenega grafa glede na abscisno os. Rezultat bo veja grafa funkcije y =сtg x (slika 4). Če poznamo eno vejo, lahko zgradimo celoten graf s pomočjo periodičnosti funkcije. Preostale veje konstruiramo tako, da konstruirano vejo premaknemo vzdolž osi x za π, 2π itd.

Graf funkcije y =сtg x imenujemo tudi tangentoid, tako kot graf funkcije y =tg x. Veja, ki leži v intervalu od nič do pi, se imenuje glavna veja grafa funkcije y = сtg x.

Središče v točki A.
α je kot, izražen v radianih.

Tangenta ( tan α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino sosednjega kraka |AB| .

Kotangens ( ctg α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| .

Tangenta

Kje n- cela.

V zahodni literaturi je tangenta označena na naslednji način:
.
;
;
.

Graf funkcije tangente, y = tan x

Kotangens

Kje n- cela.

V zahodni literaturi je kotangens označen na naslednji način:
.
Sprejemljivi so tudi naslednji zapisi:
;
;
.

Graf funkcije kotangens, y = ctg x

Lastnosti tangensa in kotangensa

Periodičnost

Funkcije y = tg x in y = ctg x so periodični s periodo π.

Pariteta

Funkciji tangens in kotangens sta lihi.

Področja opredelitve in vrednosti, naraščanje, padanje

Funkciji tangens in kotangens sta zvezni v svoji definicijski domeni (glej dokaz kontinuitete). Glavne lastnosti tangensa in kotangensa so predstavljene v tabeli ( n- celota).

Formule

Izrazi z uporabo sinusa in kosinusa

; ;
; ;
;

Formule za tangens in kotangens iz vsote in razlike

Preostale formule je na primer enostavno dobiti

Produkt tangent

Formula za vsoto in razliko tangent

Ta tabela predstavlja vrednosti tangensov in kotangensov za določene vrednosti argumenta.

Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila

Izrazi s hiperboličnimi funkcijami

;
;

Odvod

; .

.
Odvod n-tega reda glede na spremenljivko x funkcije:
.
Izpeljava formul za tangento >>> ; za kotangens >>>

Integrali

Razširitve serije

Če želite dobiti raztezanje tangente po potencah x, morate vzeti več členov raztezanja v potenčni vrsti za funkcije greh x in cos x in te polinome razdelite drug z drugim, . To ustvari naslednje formule.

Ob .

ob .
Kje Bn- Bernoullijeva števila. Določeni so bodisi iz povratne relacije:
;
;
Kje .
Ali po Laplaceovi formuli:

Inverzne funkcije

Inverzni funkciji tangensa in kotangensa sta arktangens in arkotangens.

Arktangens, arctg

, Kje n- cela.

Arkotangens, arcctg

, Kje n- cela.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.
G. Korn, Priročnik iz matematike za znanstvenike in inženirje, 2012.

, [−5π/2; −3π/2],. . . - z eno besedo na vseh segmentih [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], kjer je k Z, in se zmanjšuje na vseh segmentih

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], kjer je n Z.

Problem 11.6. Na katerih segmentih funkcija y = cos x narašča in na katerih pada?

Problem 11.8. Razporedite v naraščajočem vrstnem redu: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Grafa tangensa in kotangensa

Narišimo funkcijo y = tan x. Najprej ga sestavimo za števila x, ki pripadajo intervalu (−π/2; π/2).

Če je x = 0, potem je tan x = 0; ko se x poveča od 0 do π/2, se poveča tudi tan x - to lahko vidite, če pogledate tangentno os (slika 12.1 a). Ko se x približuje π/2, ostaja manjši

riž. 12.2. y = tan x.

π/2, vrednost tan x narašča (točka M na sliki 12.1 a teče vedno višje) in lahko očitno postane poljubno veliko pozitivno število. Podobno, ko x pada od 0 do −π/2, tan x postane negativno število, katerega absolutna vrednost narašča, ko se x približuje −π/2. Za x = π/2 ali −π/2 je funkcija tan x nedefinirana. Zato je graf y = tan x za x (−π/2; π/2) videti približno tako kot na sl. 12.1 b.

Blizu izhodišča koordinat je naša krivulja blizu premice y = x x: navsezadnje za majhne ostre kote velja približna enakost tg x ≈ x. Lahko rečemo, da se premica y = x dotika grafa funkcije y = tan x v izhodišču. Poleg tega je krivulja na sliki 12.1 b simetrična glede na izhodišče. To je razloženo z dejstvom, da je funkcija y = tan x liha, to pomeni, da velja istovetnost tg(−x) = − tan x.

Če želite narisati funkcijo y = tan x za vse x, se spomnite, da je tan x periodična funkcija s periodo π. Da bi torej dobili popoln graf funkcije y = tan x, je treba krivuljo na sl. ponoviti neskončno velikokrat. 12.1 b, pri čemer ga premikamo vzdolž abscise na razdalje πn, kjer je n celo število. Končni pogled na graf funkcije y = tan x je na sl. 12.2.

Glede na graf še enkrat vidimo, da je funkcija y = tan x

riž. 12.3. y = posteljica x.

ni definirana za x = π/2 + πn, n Z, torej za tiste x, za katere je cos x = 0. Navpične črte z enačbami x = π/2, 3π/2,. . . , na katere veje pristopa grafa imenujemo asimptote grafa.

Na isti sl. 12.2 smo prikazali rešitve enačbe tg x = a.

Narišimo funkcijo y = cot x. Najlažji način je, da z redukcijsko formulo ctg x = tan(π/2 − x) dobimo ta graf iz grafa funkcije y = tan x z uporabo transformacij, podobnih tistim, ki smo jih opisali v prejšnjem odstavku. Rezultat je prikazan na sl. 12.3

Problem 12.1. Graf funkcije y = ctg x dobimo iz grafa funkcije y = tan x z uporabo simetrije glede na določeno premico. Kateri? Ali obstajajo druge linije s to nepremičnino?

Problem 12.2. Kako izgleda enačba premice, tangentne na graf funkcije y = cot x v točki s koordinatami (π/2; 0)?

Problem 12.3. Primerjaj števili: a) tg(13π/11) in tg 3,3π; b) tan 9,6π in cot(−11,3π).

Problem 12.4. Številke razporedi v naraščajočem vrstnem redu: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Problem 12.5. Graf funkcije:

Problem 12.7. Narišite funkcijo y = arctan x + arctan(1/x).

§ 13. Čemu je enako sin x + cos x?

V tem razdelku bomo poskušali rešiti naslednji problem: katero največjo vrednost lahko sprejme izraz sin x+cos x?

Če ste pravilno šteli, bi morali ugotoviti, da je od vseh x v tej tabeli največja vrednost sin x + cos x

dobimo za x blizu 45◦ ali, v radianski meri, do π/4.

Če je x = π/4, je natančna vrednost sin x+cos x 2. Izkazalo se je, da je naš rezultat pridobljen eksperimentalno in v

dejansko drži: za vse x velja neenakost sin x + cos x 6

2, torej je 2 največja vrednost, ki jo sprejema ta izraz.

Nimamo še dovolj sredstev, da bi to neenakost dokazali na najbolj naraven način. Za zdaj bomo pokazali, kako ga zmanjšati na planimetrijski problem.

Če je 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Zato je naša naloga preoblikovana na naslednji način: dokazati, da bo vsota dolžin krakov pravokotnega trikotnika s hipotenuzo 1 največja, če je ta trikotnik enakokrak.

Problem 13.1. Dokažite to trditev.

Ker je enakokraki pravokotni trikotnik s hi-

Potenuza 1, vsota dolžin krakov je enaka 2√, rezultat tega problema implicira neenakost sin x + cos x 6 2 za vse x, ki ležijo v intervalu (0; π/2). Od tu ni težko sklepati, da ta neenakost velja za vse x na splošno.

Rezultat naloge 13.1 ne velja le za pravokotne trikotnike.

Problem 13.2. Dokažite, da bo med vsemi trikotniki z danima vrednostma stranice AC in kota B največja vsota AB + BC za enakokraki trikotnik z osnovo AC.

Vrnimo se k trigonometriji.

Problem 13.3. S pomočjo tabele sinusov iz § 3 zgradite točkovni graf funkcije y = sin x + cos x.

Opomba: Ne pozabite, da mora biti x izražen v radianih; Za vrednosti x zunaj intervala uporabite formule za zmanjšanje.

Če ste vse naredili pravilno, bi morali imeti krivuljo, ki je videti kot sinusni val. Kasneje bomo videli, da ta krivulja ni le podobna, ampak je sinusoida. Naučili se bomo tudi poiskati največje vrednosti izrazov, kot je 3 sin x + 4 cos x (mimogrede, graf funkcije y = 3 sin x + 4 cos x je tudi sinusoida!).