Lekcja „Funkcje y = tgx, y = ctgx, ich właściwości i wykresy”. Lekcja „Funkcje y = tgx, y = ctgx, ich własności i wykresy” Badanie funkcji ze styczną

W tym samouczku wideo omówiono właściwości funkcji y =tgx, y = ctgX, pokazuje, jak konstruować ich wykresy.

Samouczek wideo rozpoczyna się od zapoznania się z funkcją y =tgX.

Podświetlone zostaną właściwości funkcji.

1) Dziedzina funkcji y =tgX wywoływane są wszystkie liczby rzeczywiste, z wyjątkiem x =π/2 + 2 πk. Te. na wykresie nie ma punktów należących do tej prostej x =π/2 i x = -π/2, a także x = 3π/2 i tak dalej (z tą samą okresowością). Zatem wykres funkcji y =tgX będzie składać się z nieskończonej liczby gałęzi, które będą zlokalizowane w przestrzeniach pomiędzy liniami prostymi x = - 3π/2 i x = -π/2, x = -π/2 i x = π/2 i tak dalej.

2) Funkcja y =tgX jest okresowy, gdzie głównym okresem jest π. To potwierdza równość tg(x- π ) = tg x =tg(x+π ) . Równości te były badane już wcześniej, autor zachęca uczniów do ich przypomnienia, zaznaczając, że dla dowolnej ważnej wartości T równości są ważne:

tg(t+ π ) = tg t, i C tg(t+π ) = ctg t. Konsekwencją tych równości jest to, że jeśli jedna gałąź wykresu funkcji y = tan X pomiędzy wierszami X = - π/2 i X= π/2, wówczas pozostałe gałęzie można uzyskać przesuwając tę ​​gałąź wzdłuż osi x o π, 2π i tak dalej.

3) Funkcja y =tgX jest dziwne, ponieważ . tg(- x) =- tg x.

Następnie przejdźmy do skonstruowania wykresu funkcji y =tgX. Jak wynika z właściwości funkcji opisanej powyżej, funkcja y =tgX okresowe i nieparzyste. Wystarczy zatem skonstruować część grafu – jedną gałąź w jednym przedziale, a następnie zastosować symetrię do przeniesienia. Autor udostępnia tabelę, w której obliczane są wartości tgX przy pewnych wartościach X w celu dokładniejszego kreślenia. Punkty te zaznaczono na osi współrzędnych i połączono gładką linią. Ponieważ Jeżeli wykres jest symetryczny względem początku współrzędnych, wówczas budowana jest ta sama gałąź, symetryczna względem początku współrzędnych. W efekcie otrzymujemy jedną gałąź grafu y =tgX. Następnie, stosując przesunięcie wzdłuż osi x o π, 2 π itd., otrzymuje się wykres y =tgX.

Wykres funkcji y =tgX nazywa się tangentoidą, a trzy gałęzie wykresu pokazane na rysunku są głównymi gałęziami stycznej.

4) Funkcja y =tgX w każdym z przedziałów (- + ; +) wzrasta.

5) Wykres funkcji y =tgX nie ma ograniczeń powyżej i poniżej.

6) Funkcja y =tgX nie ma największej i najmniejszej wartości.

7) Funkcja y =tgX ciągły w dowolnym przedziale (- - π/2+π;π/2+π). Prostą π/2+π nazywamy asymptotą wykresu funkcji y =tgX, ponieważ w tych punktach wykres funkcji zostaje przerwany.

8) Zbiór wartości funkcji y =tgX wywoływane są wszystkie liczby rzeczywiste.

W dalszej części samouczka wideo podano przykład: rozwiąż równanie za pomocą tgX. Aby rozwiązać problem, skonstruujemy 2 wykresy funkcji Na i znajdź punkty przecięcia tych wykresów: jest to nieskończony zbiór punktów, których odcięte różnią się o πk. Pierwiastkiem tego równania będzie X= π/6 + πk.

Rozważmy wykres funkcji y =ctgX. Funkcję można przedstawić na dwa sposoby.

Pierwsza metoda polega na konstruowaniu wykresu w sposób podobny do konstruowania wykresu funkcje y =tgX. Zbudujmy jedną gałąź wykresu funkcji y = dotgX pomiędzy wierszami X= 0u X= π. Następnie korzystając z symetrii i okresowości skonstruujemy kolejne gałęzie grafu.

Druga metoda jest prostsza. Wykres funkcji y = сtgx można uzyskać poprzez przekształcenie stycznych za pomocą wzoru redukcyjnego Ztgx = - tg(x +π/2). Aby to zrobić, przesuńmy jedną gałąź wykresu funkcji y = tgx wzdłuż osi x o π/2 w prawo. Pozostałe gałęzie uzyskuje się poprzez przesunięcie tej gałęzi wzdłuż osi x o π, 2π i tak dalej. Wykres funkcji y = ctg X nazywana jest także tangentoidą, a gałąź wykresu w przedziale (0;π) jest główną gałęzią stycznej.

DEKODOWANIE TEKSTU:

Rozważymy właściwości funkcji y = tg x (y jest równe stycznej x), y = ctg x (y jest równe cotangens x) i skonstruujemy ich wykresy. Rozważmy funkcję y = tgx

Zanim wykreślimy funkcję y = tan x, napiszmy własności tej funkcji.

WŁASNOŚĆ 1. Dziedziną definicji funkcji y = tan x są wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem liczb w postaci x = + πk (x jest równe sumie pi przez dwa i pi ka).

Oznacza to, że na wykresie tej funkcji nie ma punktów należących do prostej x = (otrzymujemy, jeśli k = 0 ka jest równe zero) i prostej x = (x jest równe minus pi przez dwa) (my otrzymamy, jeśli k = - 1 ka równa się minus jeden) i prostą x = (x równa się trzy pi przez dwa) (otrzymujemy, jeśli k = 1 równa się jeden) itd. Oznacza to, że wykres funkcji y = tg x będzie składać się z nieskończonej liczby gałęzi, które będą znajdować się w odstępach pomiędzy prostymi. Mianowicie w paśmie pomiędzy x = i x =-; w pasku x = - i x = ; w pasku x = i x = i tak w nieskończoność.

WŁAŚCIWOŚĆ 2. Funkcja y = tan x jest okresowa z głównym okresem π. (Ponieważ podwójna równość jest prawdziwa

tan(x- π) = tanx = tangens (x+π) tangens x minus pi jest równy tangensowi x i równy tangensowi x plus pi). Rozważaliśmy tę równość podczas badania stycznej i cotangensu. Przypomnijmy mu:

Dla dowolnej dopuszczalnej wartości t obowiązują równości:

tg (t + π) = tgt

ctg (t + π) = ctgt

Z równości wynika, że ​​konstruując gałąź wykresu funkcji y = tg x w przedziale od x = - i x =, pozostałe gałęzie otrzymujemy przesuwając skonstruowaną gałąź wzdłuż osi X o π, 2π , i tak dalej.

WŁASNOŚĆ 3. Funkcja y = tan x jest funkcją nieparzystą, gdyż prawdziwa jest równość tg (- x) = - tan x.

Narysujmy funkcję y = tan x

Ponieważ funkcja ta jest okresowa, składa się z nieskończonej liczby rozgałęzień (w pasie między x = a x =, a także w pasie między x = a x = itd.) i nieparzystej, skonstruujemy część wykres punkt po punkcie w przedziale od zera do pi o dwa (), a następnie skorzystaj z symetrii początku i okresowości.

Zbudujmy tabelę wartości stycznych do kreślenia.

Znajdujemy pierwszy punkt: wiedząc, że przy x = 0 tan x = 0 (x jest równe zero, tan x jest również równe zero); następny punkt: w x = tan x = (x równe pi przez sześć, tangens x równa się pierwiastkowi z trzech przez trzy); Zwróćmy uwagę na następujące punkty: w x = tan x = 1 (x równe pi przez cztery tan x równa się jeden) i w x = tg x = (x równe pi przez trzy tan x jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z trzech). Uzyskane punkty zaznacz na płaszczyźnie współrzędnych i połącz je gładką linią (ryc. 2).

Ponieważ wykres funkcji jest symetryczny względem początku współrzędnych, tę samą gałąź zbudujemy symetrycznie względem początku współrzędnych. (ryc. 3).

I wreszcie, stosując okresowość, otrzymujemy wykres funkcji y = tan x.

Skonstruowaliśmy gałąź wykresu funkcji y = tan x w pasku od x = - i x =. Pozostałe gałęzie budujemy przesuwając zbudowaną gałąź wzdłuż osi X o π, 2π i tak dalej.

Utworzony wykres nazywa się tangentoidą.

Część stycznej pokazana na rysunku 3 nazywana jest główną gałęzią stycznej.

Na podstawie wykresu zapiszemy jeszcze kilka właściwości tej funkcji.

WŁASNOŚĆ 4. Funkcja y = tan x rośnie na każdym z przedziałów (od minus pi przez dwa plus pi ka do pi przez dwa plus pi ka).

WŁASNOŚĆ 5. Funkcja y = tan x nie jest ograniczona ani powyżej, ani poniżej.

WŁAŚCIWOŚĆ 6. Funkcja y = tan x nie ma ani największej, ani najmniejszej wartości.

WŁASNOŚĆ 7. Funkcja y = tan x jest ciągła na dowolnym przedziale postaci (od minus pi przez dwa plus pi ka do pi przez dwa plus pi ka).

Linia prosta postaci x = + πk (x jest równa sumie pi przez dwa i pi ka) jest asymptotą pionową wykresu funkcji, gdyż w punktach postaci x = + πk funkcja ulega Nieciągłość.

WŁAŚCIWOŚĆ 8. Zbiór wartości funkcji y = tan x to wszystkie liczby rzeczywiste, to znaczy (e od eff jest równe przedziałowi od minus nieskończoności do plus nieskończoności).

PRZYKŁAD 1. Rozwiąż równanie tg x = (styczna x jest równa pierwiastkowi z trzech przez trzy).

Rozwiązanie. Skonstruujmy wykresy funkcji y = tan x w jednym układzie współrzędnych

(y jest równe tangensowi x) i y = (y jest równe pierwiastkowi z trzech podzielonemu przez trzy).

Otrzymaliśmy nieskończenie wiele punktów przecięcia, których odcięte różnią się od siebie o πk (pi ka). Ponieważ tg x = przy x =, to odcięta punktu przecięcia na gałęzi głównej jest równa (pi x sześć).

Wszystkie rozwiązania tego równania zapisujemy wzorem x = + πk (x równa się pi razy sześć plus pi ka).

Odpowiedź: x = + πk.

Zbudujmy wykres funkcji y = сtg x.

Rozważmy dwie metody budowy.

Pierwszy sposób jest podobne do wykreślenia funkcji y = tan x.

Ponieważ funkcja ta jest okresowa, składa się z nieskończonej liczby gałęzi (w paśmie od x = 0 do x =π, a także w paśmie między x = π a x = 2π itd.) i nieparzystej, skonstruujemy część wykresu punkt po punkcie na przedziale od zera do pi o dwa (), wówczas zastosujemy symetrię i okresowość.

Do zbudowania wykresu wykorzystajmy tabelę wartości cotangensów.

Zaznacz powstałe punkty na płaszczyźnie współrzędnych i połącz je gładką linią.

Ponieważ wykres funkcji jest względnie symetryczny, tę samą gałąź zbudujemy symetrycznie.

Zastosujmy okresowość i otrzymajmy wykres funkcji y = сtg x.

Skonstruowaliśmy gałąź wykresu funkcji y = сtg x w pasku od x = 0 i x = π. Pozostałe gałęzie konstruujemy przesuwając zbudowaną gałąź wzdłuż osi x o π, - π, 2π, - 2π i tak dalej.

Drugi sposób wykreślenie funkcji y =сtg x.

Wykres funkcji y =сtg x najłatwiej otrzymać poprzez przekształcenie tangensa za pomocą wzoru redukcyjnego (cotangens x jest równy minus tangens sumy x i pi przez dwa).

W tym przypadku najpierw przesuwamy gałąź wykresu funkcji y = tg x wzdłuż osi odciętych w prawo, otrzymujemy

y = tg (x+), a następnie wykonujemy symetrię powstałego wykresu względem osi odciętych. Wynikiem będzie gałąź wykresu funkcji y =сtg x (ryc. 4). Znając jedną gałąź, możemy zbudować cały wykres wykorzystując okresowość funkcji. Pozostałe gałęzie konstruujemy przesuwając zbudowaną gałąź wzdłuż osi x o π, 2π i tak dalej.

Wykres funkcji y =сtg x nazywany jest także tangentoidą, podobnie jak wykres funkcji y =tg x. Gałąź leżąca w przedziale od zera do pi nazywana jest gałęzią główną wykresu funkcji y = сtg x.

Wyśrodkowany w punkcie A.
α to kąt wyrażony w radianach.

Styczna ( opalenizna α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości przeciwnej nogi |BC| do długości sąsiedniej nogi |AB| .

Cotangens ( ctg α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniej nogi |AB| do długości przeciwnej nogi |BC| .

Tangens

Gdzie N- cały.

W literaturze zachodniej tangens jest oznaczany w następujący sposób:
.
;
;
.

Wykres funkcji stycznej, y = tan x

Cotangens

Gdzie N- cały.

W literaturze zachodniej cotangens oznacza się w następujący sposób:
.
Akceptowane są także następujące oznaczenia:
;
;
.

Wykres funkcji cotangens, y = ctg x

Własności tangensa i cotangensa

Okresowość

Funkcje y = tg x i y = ctg x są okresowe z okresem π.

Parytet

Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste.

Obszary definicji i wartości, rosnące, malejące

Funkcje styczne i cotangens są ciągłe w swojej dziedzinie definicji (patrz dowód ciągłości). Główne właściwości stycznej i cotangens przedstawiono w tabeli ( N- cały).

Formuły

Wyrażenia wykorzystujące sinus i cosinus

; ;
; ;
;

Wzory na tangens i cotangens z sumy i różnicy

Pozostałe wzory są łatwe do uzyskania np

Iloczyn stycznych

Wzór na sumę i różnicę stycznych

Ta tabela przedstawia wartości stycznych i cotangensów dla określonych wartości argumentu.

Wyrażenia wykorzystujące liczby zespolone

Wyrażenia poprzez funkcje hiperboliczne

;
;

Pochodne

; .

.
Pochodna n-tego rzędu po zmiennej x funkcji:
.
Wyprowadzanie wzorów na styczną > > > ; dla cotangens > > >

Całki

Rozszerzenia serii

Aby otrzymać rozwinięcie stycznej w potęgach x, należy przyjąć kilka wyrazów rozwinięcia szeregu potęgowego dla funkcji grzech x I bo x i podzielić te wielomiany przez siebie, . W ten sposób powstają następujące formuły.

Na .

Na .
Gdzie Bn- Liczby Bernoulliego. Wyznacza się je albo z relacji powtarzalności:
;
;
Gdzie .
Lub zgodnie ze wzorem Laplace'a:

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne tangensa i cotangens to odpowiednio arcustangens i arccotangens.

Arcus tangens, arctg

, Gdzie N- cały.

Arccotangens, arcctg

, Gdzie N- cały.

Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.
G. Korn, Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów, 2012.

, [-5π/2; −3π/2],. . . - słowem na wszystkich odcinkach [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], gdzie k Z, i maleje na wszystkich odcinkach

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], gdzie n Z.

Zadanie 11.6. Na jakich odcinkach funkcja y = cos x rośnie, a na jakich maleje?

Zadanie 11.8. Ułóż w kolejności rosnącej: grzech 1, cos 2, grzech 3, cos 4, grzech 5, cos 6.

§ 12. Wykresy stycznej i cotangensu

Narysujmy funkcję y = tan x. Najpierw skonstruujmy go dla liczb x należących do przedziału (−π/2; π/2).

Jeśli x = 0, to tan x = 0; gdy x wzrasta od 0 do π/2, tan x również rośnie - można to zobaczyć, patrząc na oś styczną (ryc. 12.1 a). Gdy x zbliża się do π/2, pozostaje mniejsze

Ryż. 12.2. y = opalenizna x.

π/2 wartość tan x wzrasta (punkt M na rys. 12.1 a biegnie coraz wyżej) i może oczywiście stać się dowolnie dużą liczbą dodatnią. Podobnie, gdy x maleje od 0 do −π/2, tan x staje się liczbą ujemną, której wartość bezwzględna wzrasta, gdy x zbliża się do −π/2. Dla x = π/2 lub −π/2 funkcja tan x jest niezdefiniowana. Zatem wykres y = tan x dla x (−π/2; π/2) wygląda w przybliżeniu jak na ryc. 12.1 b.

W pobliżu początku współrzędnych nasza krzywa jest zbliżona do prostej y = x x: w końcu dla małych kątów ostrych prawdziwa jest przybliżona równość tg x ≈ x. Można powiedzieć, że prosta y = x styka się z wykresem funkcji y = tg x w początku. Ponadto krzywa na ryc. 12.1 b jest symetryczna względem początku. Wyjaśnia to fakt, że funkcja y = tan x jest nieparzysta, to znaczy zachodzi tożsamość tg(−x) = − tan x.

Aby wykreślić funkcję y = tan x dla wszystkich x, pamiętajmy, że tan x jest funkcją okresową z okresem π. Zatem, aby otrzymać pełny wykres funkcji y = tg x, należy nieskończenie wiele razy powtórzyć krzywą z ryc. 12.1 b, przesuwając go wzdłuż odciętej na odległości πn, gdzie n jest liczbą całkowitą. Ostateczny widok wykresu funkcji y = tan x przedstawiono na ryc. 12.2.

Z wykresu po raz kolejny widzimy, że funkcja y = tan x

Ryż. 12.3. y = łóżko x.

nie jest zdefiniowana dla x = π/2 + πn, n Z, czyli dla tych x, dla których cos x = 0. Linie pionowe o równaniach x = π/2, 3π/2,. . . , do których gałęzie grafu dochodzące nazywane są asymptotami grafu.

Na tej samej rys. 12.2 przedstawiliśmy rozwiązania równania tg x = a.

Narysujmy funkcję y = cot x. Najłatwiej jest użyć wzoru redukcyjnego ctg x = tan(π/2 − x), aby otrzymać ten wykres z wykresu funkcji y = tan x, stosując przekształcenia podobne do tych, które opisaliśmy w poprzednim akapicie. Wynik pokazano na ryc. 12.3

Zadanie 12.1. Wykres funkcji y = ctg x otrzymujemy z wykresu funkcji y = tg x stosując symetrię względem pewnej prostej. Który? Czy istnieją inne linie z tą nieruchomością?

Zadanie 12.2. Jak wygląda równanie prostej stycznej do wykresu funkcji y = cot x w punkcie o współrzędnych (π/2; 0)?

Zadanie 12.3. Porównaj liczby: a) tg(13π/11) i tg 3,3π; b) opalenizna 9,6π i łóżeczko(-11,3π).

Zadanie 12.4. Ułóż liczby w kolejności rosnącej: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Zadanie 12.5. Wykres funkcji:

Zadanie 12.7. Narysuj funkcję y = arctan x + arctan(1/x).

§ 13. Czym jest sin x + cos x równy?

W tej sekcji spróbujemy rozwiązać następujący problem: jaką największą wartość może przyjąć wyrażenie sin x + cos x?

Jeśli policzyłeś poprawnie, powinieneś odkryć, że ze wszystkich x zawartych w tej tabeli największą wartością jest sin x + cos x

otrzymuje się dla x bliskiego 45◦ lub, w skali radianów, do π/4.

Jeżeli x = π/4, to dokładna wartość sin x+cos x wynosi 2. Okazuje się, że nasz wynik uzyskany eksperymentalnie i w

jest rzeczywiście prawdziwe: dla wszystkich x prawdziwa jest nierówność sin x + cos x 6

2, więc 2 jest największą wartością akceptowaną przez to wyrażenie.

Nie mamy jeszcze wystarczających środków, aby udowodnić tę nierówność w najbardziej naturalny sposób. Na razie pokażemy, jak sprowadzić to do problemu planimetrii.

Jeśli 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Dlatego nasze zadanie zostaje przeformułowane w następujący sposób: udowodnić, że suma długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego z przeciwprostokątną 1 będzie maksymalna, jeśli ten trójkąt jest równoramienny.

Zadanie 13.1. Udowodnij to stwierdzenie.

Ponieważ trójkąt prostokątny równoramienny z hy-

Potenuse 1, suma długości nóg jest równa 2√, wynik tego zadania implikuje nierówność sin x + cos x 6 2 dla wszystkich x leżących w przedziale (0; π/2). Stąd nietrudno wywnioskować, że ta nierówność dotyczy w ogóle wszystkich x.

Wynik zadania 13.1 jest prawdziwy nie tylko dla trójkątów prostokątnych.

Zadanie 13.2. Udowodnij, że spośród wszystkich trójkątów o podanych wartościach boku AC i kąta B największą sumą AB + BC będzie trójkąt równoramienny o podstawie AC.

Wróćmy do trygonometrii.

Zadanie 13.3. Korzystając z tabeli sinusów z § 3, skonstruuj punkt po punkcie wykres funkcji y = sin x + cos x.

Notatka. Pamiętaj, że x musi być wyrażone w radianach; Dla wartości x znajdujących się poza przedziałem należy skorzystać ze wzorów redukcyjnych.

Jeśli zrobiłeś wszystko poprawnie, powinieneś mieć krzywą wyglądającą jak fala sinusoidalna. Później zobaczymy, że ta krzywa jest nie tylko podobna, ale ma kształt sinusoidy. Nauczymy się także znajdować największe wartości wyrażeń takich jak 3 sin x + 4 cos x (swoją drogą wykres funkcji y = 3 sin x + 4 cos x też jest sinusoidą!).