Dars “Y = tgx, y = ctgx funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari. Dars “Y = tgx, y = ctgx funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari” Tangensli funksiyalarni tadqiq qilish.

Ushbu video darsda funktsiyalarning xususiyatlari muhokama qilinadi y =tgx, y = ctgx, ularning grafiklarini qurish usullarini ko'rsatadi.

Video darslik funksiyani ko'rib chiqish bilan boshlanadi y =tgx.

Funktsiyaning xususiyatlari ta'kidlangan.

1) Funktsiyani aniqlash sohasi y =tgx bundan mustasno, barcha haqiqiy sonlar chaqiriladi x = p/2 + 2 pk. Bular. grafikda chiziqqa tegishli nuqtalar yo'q x = p/2 va x = - p/2, shuningdek, x = 3p/2 va boshqalar (bir xil davriylik bilan). Shunday qilib, funktsiya grafigi y =tgx to'g'ri chiziqlar orasidagi bo'shliqlarda joylashadigan cheksiz sonli novdalardan iborat bo'ladi x = - 3p/2 va x = - p/2, x = - p/2 va x = p/2 va boshqalar.

2) Funktsiya y =tgx davriy bo'lib, bu erda asosiy davr p. Bu tenglikni tasdiqlaydi tg(x- π ) = tg x =tg(x+π ) . Ushbu tengliklar ilgari o'rganilgan, muallif har qanday haqiqiy qiymat uchun talabalarni ularni eslab qolishga taklif qiladi. t tengliklari amal qiladi:

tg(t+ π ) = tg t, va c tg(t+π ) = ctg t. Bu tengliklarning natijasi shundan iboratki, agar funktsiya grafigining bir tarmog'i y = tan bo'lsa x chiziqlar orasida X = - p/2 va X= p/2 bo'lsa, qolgan shoxlarni bu shoxni x o'qi bo'ylab siljitish orqali olish mumkin. p, 2p va boshqalar.

3) Funktsiya y =tgx g'alati, chunki . tg(- x) =- tg x.

Keyinchalik, funksiya grafigini qurishga o'tamiz y =tgx. Yuqorida tavsiflangan funktsiyaning xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, funktsiya y =tgx davriy va g'alati. Shuning uchun, grafikning bir qismini - bitta oraliqda bitta filialni qurish va keyin uzatish uchun simmetriyadan foydalanish kifoya. Muallif qiymatlar hisoblangan jadvalni taqdim etadi tgx ma'lum qiymatlarda x aniqroq chizma yaratish uchun. Bu nuqtalar koordinata o'qida belgilangan va silliq chiziq bilan bog'langan. Chunki Agar grafik koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'lsa, u holda koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'lgan bir xil filial quriladi. Natijada biz grafikning bitta novdasini olamiz y =tgx. Keyinchalik, x o'qi bo'ylab p, 2 p va boshqalarga siljish yordamida grafik olinadi. y =tgx.

Funksiya grafigi y =tgx tangentoid deb ataladi va rasmda ko'rsatilgan grafikning uchta tarmog'i tangentoidning asosiy tarmoqlari hisoblanadi.

4) Funktsiya y =tgx oraliqlarning har birida (- + ; +) ortadi.

5) Funksiya grafigi y =tgx yuqorida yoki pastda hech qanday cheklovlar yo'q.

6) Funktsiya y =tgx eng katta va eng kichik qiymatga ega emas.

7) Funktsiya y =tgx har qanday oraliqda uzluksiz (- - p/2+p;p/2+p). p/2+p to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi deyiladi y =tgx, chunki bu nuqtalarda funksiya grafigi uziladi.

8) Funktsiya qiymatlari to'plami y =tgx barcha haqiqiy sonlar chaqiriladi.

Keyingi video darsida misol keltiriladi: bilan tenglamani yeching tgx. Yechish uchun funksiyaning 2 ta grafigini tuzamiz da va ushbu grafiklarning kesishish nuqtalarini toping: bu abssissalari pk ga farq qiladigan cheksiz nuqtalar to'plamidir. Bu tenglamaning ildizi bo'ladi X= p/6 +pk.

Funktsiya grafigini ko'rib chiqing y =ctgx. Funksiyaning grafigini ikki usulda chizish mumkin.

Birinchi usul grafikni qurishga o'xshash grafikni qurishni o'z ichiga oladi y = funktsiyalaritgx. Keling, funktsiya grafigining bitta tarmog'ini quramiz y = ctgx chiziqlar orasida X= 0u X= p. Keyin simmetriya va davriylikdan foydalanib, biz grafikning boshqa tarmoqlarini tuzamiz.

Ikkinchi usul oddiyroq. Funksiya grafigi y = stgx kamaytirish formulasi yordamida tangenslarni o'zgartirish orqali olinishi mumkin Bilantgx = - tg(x + p/2). Buning uchun funktsiya grafigining bir tarmog'ini siljitamiz y = tgx x o'qi bo'ylab p/2 ga o'ngga. Qolgan shoxlar bu shoxni x o'qi bo'ylab p, 2p va boshqalarga siljitish orqali olinadi. y = ctg funksiyaning grafigi x tangentoid ham deyiladi va grafikning (0;p) oraliqdagi shoxi tangentoidning asosiy tarmog'i hisoblanadi.

MATNNI dekodlash:

y = tan x (y tangens x ga teng), y = ctg x (y kotangens x ga teng) funksiyaning xossalarini ko‘rib chiqamiz va ularning grafiklarini tuzamiz. y = tgx funktsiyasini ko'rib chiqing

y = tan x funksiya grafigini tuzishdan oldin bu funksiyaning xossalarini yozamiz.

XUSUSIYAT 1. y = tan x funksiyasining aniqlanish sohasi x = + pk ko'rinishdagi raqamlardan tashqari barcha haqiqiy sonlardir (x pi ning ikki va pi ka yig'indisiga teng).

Bu shuni anglatadiki, bu funktsiya grafigida x = (k = 0 ka nolga teng bo'lsa, biz olamiz) va x = (x minus pi ikkiga teng) chiziqqa tegishli nuqtalar yo'q (biz olish, agar k = - 1 ka minus birga teng bo'lsa), va to'g'ri chiziq x = (x uch pi ikkiga teng) (agar k = 1 birga teng bo'lsa, olamiz) va hokazo. Bu grafikni anglatadi. y = tan x funksiyasining cheksiz soni to'g'ri chiziqlar orasidagi oraliqlarda joylashgan shoxlardan iborat bo'ladi. Ya'ni, x = va x =- orasidagi bandda; chiziqda x = - va x = ; chiziqda x = va x = va hokazo ad infinitum.

XUSUSIYAT 2. y = tan x funksiyasi bosh davri p bilan davriydir. (Chunki ikki tomonlama tenglik to'g'ri

tan(x- p) = tanx = tan (x+p) x minus pi tangensi x tangensiga teng va x plus pi tangensiga teng). Bu tenglikni tangens va kotangensni o'rganishda ko'rib chiqdik. Unga eslatib o'tamiz:

t ning har qanday ruxsat etilgan qiymati uchun tenglik amal qiladi:

tg (t + p)= tgt

ctg (t + p) = ctgt

Bu tenglikdan kelib chiqadiki, y = tan x funksiya grafigining x = - va x = oralig'ida shoxini tuzib, qurilgan shoxni X o'qi bo'ylab p, 2p ga siljitish orqali qolgan tarmoqlarni olamiz. , va hokazo.

XUSUSIYAT 3. y = tan x funksiya toq funksiyadir, chunki tg (- x) = - tan x tengligi rost.

y = tan x funksiyasini chizamiz

Bu funksiya davriy bo'lib, cheksiz sonli tarmoqlardan (x = va x = orasidagi chiziqda, shuningdek, x = va x = orasidagi chiziqda va hokazo) va toqdan iborat bo'lganligi sababli, biz bir qismini quramiz. noldan pigacha bo'lgan oraliqda nuqtadan nuqtaga grafikni ikkiga (), so'ngra kelib chiqishi va davriyligi simmetriyasidan foydalaning.

Keling, chizish uchun tangens qiymatlari jadvalini tuzamiz.

Birinchi nuqtani topamiz: x = 0 tan x = 0 (x nolga teng, tan x ham nolga teng) ekanligini bilib; keyingi nuqta: x = tan x = da (x pi ga oltiga teng, tangens x uchta uchta ildizga teng); Quyidagi fikrlarga e'tibor qaratamiz: x = tan x = 1 da (x pi ga to'rt tanga teng x birga teng) va x = tg x = (x pi ga uch tan x teng kvadrat ildizga teng. uchtadan). Olingan nuqtalarni koordinata tekisligida belgilang va ularni silliq chiziq bilan bog'lang (2-rasm).

Funksiya grafigi koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo‘lgani uchun biz koordinatalarning boshiga nisbatan bir xil shoxobchani simmetrik tarzda quramiz. (3-rasm).

Va nihoyat, davriylikni qo'llagan holda, biz y = tan x funksiyasining grafigini olamiz.

X = - va x = dan chiziqqa y = tan x funksiya grafigining filialini qurdik. Qolgan shoxlarni X o'qi bo'ylab qurilgan novdani p, 2p va boshqalarga siljitish orqali quramiz.

Yaratilgan syujet tangentoid deb ataladi.

Tangentoidning 3-rasmda ko'rsatilgan qismi tangentoidning asosiy tarmog'i deyiladi.

Grafikga asoslanib, biz ushbu funktsiyaning yana bir qancha xususiyatlarini yozamiz.

XUSUSIYAT 4. Har bir oraliqda y = tan x funksiyasi ortadi (minus pi ikkiga plyus pi ka dan pi ikkiga plyus pi ka).

XUSUSIYAT 5. y = tan x funktsiyasi yuqorida ham, pastda ham chegaralanmagan.

XUSUSIYAT 6. y = tan x funksiyasi na eng katta, na eng kichik qiymatlarga ega.

XUSUSIYAT 7. y = tan x funksiyasi shaklning istalgan oralig'ida uzluksiz (minus pi dan ikkiga plyus pi ka dan pi ikkiga plyus pi ka).

X = + pk ko'rinishdagi to'g'ri chiziq (x ikki va pi ka yig'indisiga teng) funksiya grafigining vertikal asimptotidir, chunki x = + pk ko'rinishdagi nuqtalarda funktsiya a zarar ko'radi. uzilish.

XUSUSIYAT 8. y = tan x funksiyaning qiymatlar to'plami barcha haqiqiy sonlar, ya'ni (eff dan eff minus cheksizlikdan ortiqcha cheksizlikgacha bo'lgan intervalga teng).

O'RNAK 1. tg x = tenglamani yeching (tangens x uchdan uchtaning ildiziga teng).

Yechim. Bir koordinata sistemasida y = tan x funksiyalarning grafiklarini tuzamiz

(y x ning tangensiga teng) va y = (y uchning uchga bo'lingan ildiziga teng).

Biz cheksiz ko'p kesishish nuqtalarini oldik, ularning abscissalari bir-biridan pk (pi ka) bilan farqlanadi, chunki tg x = da x =, u holda asosiy shoxchadagi kesishish nuqtasining abssissasi (pi oltiga) tengdir.

Bu tenglamaning barcha yechimlarini x = + pk formulasi bilan yozamiz (x teng pi marta olti plyus pi ka).

Javob: x = + p k.

y = stg x funksiyaning grafigini tuzamiz.

Keling, ikkita qurilish usulini ko'rib chiqaylik.

Birinchi yo'l y = tan x funksiyasining grafigini tuzishga o'xshaydi.

Bu funksiya davriy bo‘lgani uchun cheksiz sonli tarmoqlardan (x = 0 va x =p oralig‘ida, shuningdek, x =p va x = 2p oralig‘idagi bandda va hokazo) va toqdan iborat bo‘lganligi sababli, biz toq bo‘lib tuzamiz. Grafikning bir qismi noldan pigacha bo'lgan oraliqda nuqtadan ikkiga (), keyin biz simmetriya va davriylikdan foydalanamiz.

Grafik tuzish uchun kotangent qiymatlari jadvalidan foydalanamiz.

Olingan nuqtalarni koordinata tekisligida belgilang va ularni silliq chiziq bilan bog'lang.

Funktsiyaning grafigi nisbatan simmetrik bo'lgani uchun biz bir xil filialni simmetrik ravishda quramiz.

Davriylikni qo‘llaymiz va y = stg x funksiyaning grafigini olamiz.

X = 0 va x =p dan chiziqqa y = stg x funksiya grafigining filialini qurdik. Tuzilgan shoxni x o'qi bo'ylab p, - p, 2p, - 2p va boshqalarga siljitish orqali qolgan shoxlarni quramiz.

Ikkinchi yo'l y =stg x funksiyasining grafigini tuzish.

y =stg x funksiyaning grafigini olishning eng oson yo'li tangensni qisqartirish formulasi yordamida o'zgartirishdir (x kotangenti x va pi yig'indisining tangensini minus ikkiga teng).

Bunda, avvalo, y =tg x funksiya grafigining shoxini abtsissalar o‘qi bo‘ylab o‘ngga siljitamiz, hosil bo‘ladi.

y = tg (x+), so'ngra hosil bo'lgan grafikning abscissa o'qiga nisbatan simmetriyasini bajaramiz. Natijada y =stg x funktsiya grafigining filiali bo'ladi (4-rasm). Bitta tarmoqni bilib, biz funktsiyaning davriyligidan foydalanib, butun grafikni qurishimiz mumkin. Tuzilgan shoxni x o'qi bo'ylab p, 2p va boshqalarga siljitish orqali qolgan shoxlarni quramiz.

y =stg x funksiyaning grafigi ham xuddi y =tg x funksiya grafigi kabi tangentoid deyiladi. Noldan pi gacha bo'lgan oraliqda joylashgan shoxga y = stg x funksiya grafigining bosh tarmog'i deyiladi.

Markazda A nuqtada joylashgan.
a - radianlarda ifodalangan burchak.

Tangent ( tan a) gipotenuza va to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i orasidagi a burchakka bog'liq bo'lgan trigonometrik funktsiya, qarama-qarshi oyoq uzunligining nisbatiga teng |BC| qo'shni oyoqning uzunligiga |AB| .

kotangent ( ctg a) gipotenuza va to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i orasidagi a burchakka bog'liq bo'lgan trigonometrik funktsiya, qo'shni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| qarama-qarshi oyoq uzunligiga |BC| .

Tangent

Qayerda n- butun.

G'arb adabiyotida tangens quyidagicha ifodalanadi:
.
;
;
.

Tangens funksiyaning grafigi, y = tan x

Kotangent

Qayerda n- butun.

G'arb adabiyotida kotangens quyidagicha belgilanadi:
.
Quyidagi belgilar ham qabul qilinadi:
;
;
.

Kotangens funksiyaning grafigi, y = ctg x

Tangens va kotangensning xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y = tg x va y = ctg x p davri bilan davriydir.

Paritet

Tangens va kotangens funksiyalari toq.

Ta'rif sohalari va qadriyatlari, ortishi, kamayishi

Tangens va kotangens funksiyalar oʻzlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdir (uzluksizlik isbotiga qarang). Tangens va kotangensning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan ( n- butun).

Formulalar

Sinus va kosinus yordamida ifodalar

; ;
; ;
;

Yig'indi va ayirmadan tangens va kotangens uchun formulalar

Qolgan formulalarni, masalan, olish oson

Tangenslar mahsuloti

Tangenslar yig‘indisi va ayirmasi formulasi

Ushbu jadval argumentning ma'lum qiymatlari uchun tangens va kotangentlarning qiymatlarini taqdim etadi.

Kompleks sonlar yordamida ifodalar

Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar

;
;

Hosilalar

; .

.
Funktsiyaning x o'zgaruvchisiga nisbatan n-darajali hosila:
.
Tangens uchun formulalarni chiqarish > > > ; kotangent uchun > > >

Integrallar

Seriyani kengaytirish

X ning darajalarida tangensning kengayishini olish uchun funktsiyalar uchun darajalar qatoridagi kengayishning bir necha shartlarini olish kerak. gunoh x Va chunki x va bu ko'phadlarni bir-biriga bo'ling, . Bu quyidagi formulalarni hosil qiladi.

Da .

da .
Qayerda Bn- Bernoulli raqamlari. Ular yoki takrorlanish munosabatidan aniqlanadi:
;
;
Qayerda.
Yoki Laplas formulasiga ko'ra:

Teskari funksiyalar

Tangens va kotangensning teskari funksiyalari mos ravishda arktangens va arkkotangensdir.

Arktangens, arctg

, Qayerda n- butun.

Arkkotangent, arkktg

, Qayerda n- butun.

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.
G. Korn, Olimlar va muhandislar uchun matematika bo'yicha qo'llanma, 2012 yil.

, [−5p/2; −3p/2],. . . - bir so'z bilan aytganda, barcha segmentlarda [−p/2 + 2pk; p/2 + 2pk], bu erda k Z va barcha segmentlarda kamayadi

[p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn], bu yerda n Z.

Muammo 11.6. y = cos x funksiya qaysi segmentlarda ortadi, qaysilarida kamayadi?

Muammo 11.8. O'sish tartibida joylashtiring: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Tangens va kotangensning grafiklari

y = tan x funksiyasini chizamiz. Avval uni (−p/2; p/2) intervalga tegishli x sonlar uchun tuzamiz.

Agar x = 0 bo'lsa, u holda tan x = 0; x 0 dan p/2 gacha oshganda, tan x ham ortadi - buni tangens o'qiga qarasangiz ko'rish mumkin (12.1-rasm a). x p/2 ga yaqinlashganda, kichikroq qoladi

Guruch. 12.2. y = tan x.

p/2 bo'lsa, tan x qiymati ortadi (12.1 a-rasmdagi M nuqta yuqori va yuqoriroq ishlaydi) va, shubhasiz, o'zboshimchalik bilan katta musbat songa aylanishi mumkin. Xuddi shunday, x 0 dan −p/2 gacha kamayishi bilan tan x manfiy songa aylanadi, uning mutlaq qiymati x −p/2 ga yaqinlashganda ortadi. X = p/2 yoki -p/2 uchun tan x funksiyasi aniqlanmagan. Shuning uchun x (−p/2; p/2) uchun y = tan x grafigi taxminan shakldagi kabi ko'rinadi. 12.1 b.

Koordinatalar kelib chiqishi yaqinida bizning egri chizig'imiz y = x x to'g'ri chiziqqa yaqin: axir, kichik o'tkir burchaklar uchun tg x ≈ x taxminiy tengligi to'g'ri bo'ladi. Aytishimiz mumkinki, y = x chiziq koordinata boshida y = tan x funksiya grafigiga tegadi. Bundan tashqari, 12.1 b-rasmdagi egri chiziq kelib chiqishiga nisbatan simmetrikdir. Bu y = tan x funksiyaning toq ekanligi, ya'ni tg(−x) = − tan x o'ziga xosligi bilan izohlanadi.

Barcha x uchun y = tan x funksiyasining grafigini yaratish uchun tan x davriy funktsiya p davriga ega ekanligini eslaylik. Shuning uchun y = tan x funksiyaning to'liq grafigini olish uchun rasmdagi egri chiziqni cheksiz ko'p marta takrorlash kerak. 12.1 b, uni abscissa bo'ylab pn masofalarga o'tkazish, bu erda n - butun son. y = tan x funksiya grafigining yakuniy ko rinishi rasmda keltirilgan. 12.2.

Grafikga ko'ra, y = tan x funksiyasi ekanligini yana bir bor ko'ramiz

Guruch. 12.3. y = cotg x.

x = p/2 + pn, n Z uchun, ya'ni cos x = 0 bo'lgan x uchun aniqlanmagan. x = p/2, 3p/2, tenglamali vertikal chiziqlar. . . , unga graf yondoshuv shoxlari grafikning asimptotalari deyiladi.

Xuddi shu rasmda. 12.2 tg x = a tenglamaning yechimlarini tasvirladik.

y = karyola x funksiyasini chizamiz. Eng oson yo'li ctg x = tan(p/2 − x) kamaytirish formulasidan foydalanib, y = tan x funksiya grafigidan oldingi paragrafda tasvirlanganlarga o'xshash transformatsiyalar yordamida ushbu grafikni olishdir. Natija rasmda ko'rsatilgan. 12.3

Muammo 12.1. y = ctg x funksiyaning grafigi y = tan x funksiya grafigidan ma'lum bir chiziqqa nisbatan simmetriya yordamida olinadi. Aynan qanday? Bu xususiyatga ega boshqa qatorlar bormi?

Muammo 12.2. Koordinatalari (p/2; 0) bo‘lgan nuqtada y = kot x funksiya grafigiga teguvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi qanday ko‘rinishga ega?

Muammo 12.3. Raqamlarni solishtiring: a) tg(13p/11) va tg 3,3p; b) tan 9,6p va karyola (-11,3p).

Muammo 12.4. Raqamlarni o'sish tartibida joylashtiring: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Muammo 12.5. Funksiyalarning grafigi:

Muammo 12.7. y = arctan x + arctan(1/x) funksiyasining grafigini tuzing.

§ 13. Sin x + cos x nimaga teng?

Ushbu bo'limda biz quyidagi masalani hal qilishga harakat qilamiz: sin x + cos x ifodasi olishi mumkin bo'lgan eng katta qiymat nima?

Agar siz to'g'ri hisoblagan bo'lsangiz, ushbu jadvalga kiritilgan barcha x ning eng katta qiymati sin x + cos x ekanligini aniqlagan bo'lishingiz kerak edi.

x uchun 45◦ ga yaqin yoki radian oʻlchovida p/4 ga olinadi.

Agar x = p/4 bo'lsa, sin x+cos x ning aniq qiymati 2 ga teng. Ma'lum bo'lishicha, bizning natijamiz tajriba yo'li bilan olingan va

aslida to'g'ri: barcha x uchun sin x + cos x 6 tengsizligi to'g'ri

2, shuning uchun 2 bu ifoda tomonidan qabul qilingan eng katta qiymatdir.

Bizda bu tengsizlikni eng tabiiy yo'l bilan isbotlash uchun hali yetarli vositalar yo'q. Hozircha biz uni planimetriya muammosiga qanday kamaytirishni ko'rsatamiz.

Agar 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Shuning uchun bizning vazifamiz quyidagicha qayta tuzilgan: gipotenuzasi 1 bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari uzunliklarining yig'indisi, agar bu uchburchak teng yonli bo'lsa, maksimal bo'lishini isbotlash.

Muammo 13.1. Ushbu bayonotni isbotlang.

Chunki hy- bilan teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak

Potenuza 1, oyoqlarning uzunliklari yig'indisi 2√ ga teng, bu muammoning natijasi (0; p/2) oraliqda yotgan barcha x uchun sin x + cos x 6 2 tengsizligini nazarda tutadi. Bu yerdan bu tengsizlik umuman barcha x uchun amal qiladi degan xulosaga kelish qiyin emas.

13.1-masalaning natijasi faqat to'g'ri burchakli uchburchaklar uchun to'g'ri emas.

Muammo 13.2. AC tomoni va B burchak qiymatlari berilgan barcha uchburchaklar orasida AB + BC eng katta yig'indisi asosi AC bo'lgan teng yonli uchburchak uchun bo'lishini isbotlang.

Keling, trigonometriyaga qaytaylik.

Muammo 13.3. 3-§dan sinuslar jadvalidan foydalanib, y = sin x + cos x funksiyaning nuqtama-nuqta grafigini tuzing.

Eslatma. Esda tutingki, x radianlarda ifodalanishi kerak; Intervaldan tashqaridagi x qiymatlari uchun qisqartirish formulalaridan foydalaning.

Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, sinus to'lqiniga o'xshash egri chiziqqa ega bo'lishingiz kerak. Keyinchalik bu egri chiziq shunchaki o'xshash emas, balki sinusoid ekanligini ko'ramiz. Shuningdek, biz 3 sin x + 4 cos x kabi ifodalarning eng katta qiymatlarini topishni o'rganamiz (Aytgancha, y = 3 sin x + 4 cos x funksiyaning grafigi ham sinusoiddir!).