Урок "Функції y = tgx, y = ctgx, їх властивості та графіки". Урок "Функції y = tgx, y = ctgx, їх властивості та графіки" Дослідження функції з тангенсом

У цьому виді уроці розглянуто властивості функцій у =tgx, y = ctgx, показано, як побудувати свої графіки.

Відеоурок починається з розгляду функції у =tgx.

Виділено властивості функції.

1) Областю визначення функції у =tgxназиваються всі дійсні числа, крім х =π/2 + 2 πk. Тобто. на графіку немає точок, які належать до прямої х =π/2 та х = -π/2, а також х = 3π/2 і так далі (з тією самою періодичністю). Значить графік функції у =tgxскладатиметься з нескінченної множини гілок, які будуть у проміжках між прямими х = - 3π/2 та х = -π/2 , х = -π/2 та х = π/2 і таке інше.

2) Функція у =tgxє періодичною, де основний період дорівнює. Це підтверджує рівність tg (x - π ) = tg x =tg (x +π ) . Ці рівності вивчалися раніше, автор пропонує учням згадати їх, вказуючи, що для будь-якого допустимого значення tсправедливі рівності:

tg (t + π ) = tg t, і c tg (t +π ) = ctg t. Наслідком цих рівностей є те, що якщо побудована одна гілка графіка функції у = tg xу проміжку між прямими х = - π/2 та х= π/2 то інші гілки можна отримати шляхом зсуву цієї гілки по осі х на π, 2π і таке інше.

3) Функція у =tgxє непарною, тому що . tg (- x) =- tg x.

Далі перейдемо до побудови графіка функції у =tgx. Як випливає з властивостей функції, описаних вище, функція у =tgxперіодична та непарна. Тому достатньо побудувати частину графіка – одну гілка в одному проміжку, а потім скористатися симетрією для перенесення. Автор наводить таблицю, в якій розраховуються значення tgxза певних значень xдля більш точної побудови графіка. Ці точки відзначаються на осі координат і з'єднуються плавною лінією. Т.к. графік симетричний щодо початку координат, то будується така сама гілка, симетрична початку координат. В результаті отримуємо одну гілка графіка у =tgx. Далі за допомогою зсуву по осі х на π, 2 π і так далі виходить графік у =tgx.

Графік функції у =tgxназивається тангенсоіда, а три гілки графіка, показані на малюнку - головні гілки тангенсоіди.

4) Функція у =tgxкожному з проміжків (- + ; +) зростає.

5) Графік функції у =tgxне має обмежень зверху та знизу.

6) Функція у =tgxне має найбільшого та найменшого значення.

7) Функція у =tgxбезперервна на будь-якому проміжку (- - π/2+π;π/2+π). Пряма π/2+π називається асимптотою графіка функції у =tgx, т.к. у цих точках графік функції переривається.

8) Безліч значень функції у =tgxназиваються всі дійсні числа.

Далі у відеоуроці дається приклад: розв'язати рівняння з tgx. Для вирішення збудуємо 2 графіки функції уі знайдемо точки перетину цих графіків: це безліч точок, абсциси яких відрізняються на πk. Коренем цього рівняння буде х= π/6 + πk.

Розглянемо графік функції у =ctgx. Графік функції можна побудувати двома способами.

Перший спосіб передбачає побудову графіка аналогічно до побудови графіка функції у =tgx. Побудуємо одну гілка графіка функції у = сtgxу проміжку між прямими х= 0і х= π. Потім за допомогою симетрії та періодичності збудуємо інші гілки графіка.

Другий спосіб простіший. Графік функції у = stgxможна отримати шляхом перетворення тангенсоїди за допомогою формули приведення зtgx = - tg (x +π/2). Для цього зрушимо одну гілка графіка функції у = tgxвздовж осі абсцис на π/2вправо. Інші гілки отримуємо шляхом зсуву цієї гілки по осі х на 2, 2 і так далі. Графік функції у = ctg xназивається також тангенсоіда, а гілка графіка в проміжку (0; π) - головна гілка тангенсоіди.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:

Ми розглянемо властивості функції у = tg x (гравець і тангенс ікс), у = ctg x (гравець і котангенс ікс), побудуємо їх графіки. Розглянемо функцію y = tgx

Перш, ніж будувати графік функції у = tg x, запишемо властивості цієї функції.

ВЛАСТИВОСТІ 1. Областю визначення функції у = tg x є всі дійсні числа, крім чисел виду х = + πk (ікс дорівнює сумі пи на два і піки).

Це означає, що на графіці цієї функції немає точок, які належать прямий х = (отримуємо, якщо k = 0 ка дорівнює нулю) і прямий х = (ікс дорівнює мінус пі на два) (отримуємо, якщо k = - 1 ка дорівнює мінус одному), і прямий х = (ікс дорівнює три пі на два) (отримуємо, якщо k = 1 ка дорівнює одному) і т. д. Значить графік функції у = tg x складатиметься з нескінченної множини гілок, які будуть перебувати в проміжках між прямими. А саме в смузі між х = і х = -; у смузі х = - і х =; у смузі х = і х = і так до безкінечності.

ВЛАСТИВОСТІ 2. Функція у = tg x є періодичною з основним періодом π. (Оскільки справедлива подвійна рівність

tg(x-π) = tgx = tg (x+π) тангенс від ікс мінус пі дорівнює тангенсу ікс і дорівнює тангенсу від ікс плюс пі). Цю рівність ми розглядали щодо тангенсу і котангенса. Нагадаємо його:

Для будь-якого допустимого значення t справедливі рівність:

tg (t + π) = tgt

ctg (t + π) = ctgt

З цієї рівності випливає, що, побудувавши гілка графіка функції у = tg x у проміжку від х = - і х = , ми отримаємо інші гілки шляхом зсуву побудованої гілки по осі Х на π, 2π, і таке інше.

ВЛАСТИВОСТІ 3. Функція у = tg x є непарною функцією, оскільки справедлива рівність tg(-x) = - tg x.

Побудуємо графік функції у = tg x

Так як ця функція періодична, складається з нескінченної множини гілок (у смузі між х = і х = , а також у смузі між х = і х = і т.д.) і непарна, то побудуємо по точках частину графіка на проміжку від нуля до пі на два (), потім скористаємося симетрією початку координат та періодичністю.

Збудуємо таблицю значень тангенсу для побудови графіка.

Знаходимо першу точку: знаючи, що за х = 0 tg x = 0(ікс рівному нулю тангенс ікс теж дорівнює нулю); наступна точка: при х = tg x = (ікс рівному пі на шість тангенс ікс дорівнює корінь із трьох на три); відзначимо такі точки: при х = tg x = 1 (ікс рівному пі на чотири тангенс ікс дорівнює одиниці), а при х = tg x = (ікс рівному пі на три тангенс ікс дорівнює кореню квадратному з трьох). Відзначивши отримані точки на координатній площині та з'єднаємо їх плавною лінією (рис. 2).

Так як графік функції симетричний щодо початку координат, то побудуємо таку ж галузь симетрично початку координат. (Рис.3).

І, зрештою, застосувавши періодичність, отримаємо графік функції у = tg x.

Ми побудували гілка графіка функції у = tg x у смузі від х = - і х = . Будуємо решту гілок шляхом зсуву побудованої гілки по осі Х на π, 2π, і так далі.

Побудований графік називається тангенсоідом.

Зображену малюнку 3 частина тангенсоиды називають головною гілкою тангенсоиды.

З графіка запишемо ще властивості цієї функції.

ВЛАСТИВОСТІ 4. Функція у = tg x зростає на кожному з проміжків (від мінус пи на два плюс піки до пи на два плюс піки).

ВЛАСТИВОСТІ 5. Функція у = tg x не обмежена ні згори, ні знизу.

ВЛАСТИВОСТІ 6. Функція у = tg x немає ні найбільшого, ні найменшого значень.

ВЛАСТИВОСТІ 7. Функція у = tg x безперервна на будь-якому інтервалі виду (від мінус пи на два плюс пік до пи на два плюс пік).

Пряма виду х = + πk (ікс дорівнює сумі пи на два і пи ка) є вертикальною асимптотою графіка функції, так як у точках виду х = + πk функція зазнає розриву.

ВЛАСТИВОСТІ 8. Безліч значень функції у = tg x є всі дійсні числа, тобто (е від еф дорівнює проміжку від мінус нескінченності до плюс нескінченності).

ПРИКЛАД 1. Розв'язати рівняння tg x = (тангенс ікс дорівнює корінь із трьох на три).

Рішення. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у = tg x

(Ігрек дорівнює тангенсу ікс) і у = (Ігрек дорівнює кореню з трьох, поділеному на три).

Отримали нескінченно багато точок перетину, абсциси яких відрізняються один від одного на πk (піка). Так як tg x = при х = , то абсцис точки перетину на головній гілки дорівнює (пі на шість).

Всі розв'язки даного рівняння запишемо формулою х = + πk (ікс дорівнює пі на шість плюс піку).

Відповідь: х = + πk.

Побудуємо графік функції у = stg x.

Розглянемо два способи побудови.

Перший спосібаналогічний побудові графіка функції у = tg x.

Так як ця функція періодична, складається з нескінченної множини гілок (у смузі між х = 0 і х = π, а також у смузі між х = π і х = 2π і т.д.) і непарна, то побудуємо по точках частину графіка на проміжку від нуля до пі на два (), потім скористаємося симетрією та періодичністю.

Скористайтеся таблицею значень котангенсу для побудови графіка.

Відзначивши отримані точки на координатній площині та з'єднаємо їх плавною лінією.

Так як графік функції симетричний щодо, то збудуємо таку ж галузь симетрично.

Застосуємо періодичність, отримаємо графік функції у = stg x.

Ми побудували гілка графіка функції у = stg x у смузі від х = 0 та х = π. Будуємо решту гілок шляхом зсуву побудованої гілки по осі x на π, - π, 2π, - 2π і так далі.

Другий спосібпобудови графіка функції у = stg x.

Отримати графік функції у = stg x найпростіше за допомогою перетворення тангенсоїди, використовуючи формулу приведення (котангенс ікс дорівнює мінус тангенс від суми ікс і пі на два).

При цьому спочатку, посунемо гілка графіка функції у =tg x уздовж осі абсцис направо, отримаємо

у = tg (x+), а потім виконуємо симетрію отриманого графіка щодо осі абсцис. В результаті вийде гілка графіка функції у = stg x (рис.4). Знаючи одну гілку, можемо побудувати весь графік, використовуючи періодичність функції. Будуємо решту гілок шляхом зсуву побудованої гілки по осі x на π, 2π, і так далі.

Графік функції у = tg x називається також тангенсоіда, як і графік функції у = tg x. Гілку, яка укладена в проміжку від нуля до пі, називають головною гілкою графіка функції у = stg x.

З центром у точці A .
α - кут, виражений у радіанах.

Тангенс ( tg α) - це тригонометрична функція, яка залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, рівна відношенню довжини протилежного катета |BC|

до довжини прилеглого катета | AB | . Котангенс () - це тригонометрична функція, яка залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини прилеглого катета |AB|

до довжини протилежного катета | BC | .

Тангенс Де n

- ціле.
.
;
;
.

У західній літературі тангенс позначається так:

Графік функції тангенсу, y = tg x

Тангенс Де n

Котангенс
.
У західній літературі котангенс позначається так:
;
;
.

Також прийнято такі позначення:

Графік функції котангенсу, y = ctg x

Властивості тангенсу та котангенсу

Періодичність Функції y = tg x та y = ctg x

періодичні з періодом π.

Парність

Функції тангенс та котангенс - непарні.

Області визначення та значень, зростання, спадання ДеФункції тангенс і котангенс безперервні у своїй області визначення (див. доказ безперервності). Основні властивості тангенсу та котангенсу представлені в таблиці (

Точки перетину з віссю ординат, x =

Формули

; ;
; ;
;

Вирази через синус та косинус

Формули тангенсу та котангенс від суми та різниці

Інші формули легко отримати, наприклад

Твір тангенсів

Формула суми та різниці тангенсів

У цій таблиці представлені значення тангенсів та котангенсів при деяких значеннях аргументу.

Вирази через комплексні числа

;
;

Вирази через гіперболічні функції

; .

.
Похідні
.
Похідна n-го порядку змінної x від функції :

Виведення формул для тангенсу >>>; для котангенсу > > >

Інтеграли

Розкладання до лав Щоб отримати розкладання тангенса за ступенями x, потрібно взяти кілька членів розкладання в степеневий ряд для функцій sin x і cos x

і розділити ці багаточлени один на одного, .

При цьому виходять такі формули.
При . при .де
;
;
B n
- Числа Бернуллі. Вони визначаються або з рекурентного співвідношення:

де.

Або за формулою Лапласа:

Зворотні функції

Зворотними функціями до тангенсу та котангенсу є арктангенс та арккотангенс відповідно. Де n

Арктангенс, arctg

Зворотними функціями до тангенсу та котангенсу є арктангенс та арккотангенс відповідно. Де n

, де
Арккотангенс, arcctg
Використана література:

І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Г. Корн, Довідник з математики для науковців та інженерів, 2012.

, [−5π/2; −3π/2],. . . - одним словом, на всіх відрізках [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], де k Z, і зменшується на всіх відрізках

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], де n Z.

§ 12. Графіки тангенсу та котангенсу

Побудуємо графік функції y = tg x. Спочатку побудуємо його для чисел x, що належать інтервалу (−π/2; π/2).

Якщо x = 0, tg x = 0; коли x зростає від 0 до π/2, tg x теж зростає – це видно, якщо подивитися на вісь тангенс (рис. 12.1 а). Коли x наближається до π/2, залишаючись менше

Мал. 12.2. y = tg x.

π/2, значення tg x зростає (точка M на рис. 12.1 а тікає все вище) і може, очевидно, стати як завгодно великим позитивним числом. Аналогічно, коли x зменшується від 0 до −π/2, tg x стає негативним числом, абсолютна величина якого зростає при наближенні x до −π/2. За x = π/2 або −π/2 функція tg x не визначена. Отже, графік y = tg x при x (-π/2; π/2) виглядає приблизно як на рис. 12.1 б.

Поблизу початку координат наша крива близька до прямої y = x x: для малих гострих кутів вірно наближене рівність tg x ≈ x. Можна сміливо сказати, що пряма y = x стосується графіка функції y = tg x початку координат. Крім того, крива на рис 12.1 б симетрична щодо початку координат. Це тим, що функція y = tg x непарна, тобто виконано тотожність tg(−x) = − tg x.

Щоб побудувати графік функції y = tg x всім x, пригадаємо, що tg x - періодична функція з періодом π. Отже, щоб отримати повний графік функції y = tg x, треба повторити нескінченно багато разів криву рис. 12.1 б переносячи її вздовж осі абсцис на відстані πn, де n - ціле число. Остаточний вид графіка функції y = tg x – на рис. 12.2.

За графіком ми вкотре бачимо, що функція y = tg x

Мал. 12.3. y = ctg x.

не визначена за x = π/2 + πn, n Z, тобто за тих x, за яких cos x = 0. Вертикальні прямі з рівняннями x = π/2, 3π/2,. . . , До яких наближаються гілки графіка, називаються асимптотами графіка.

На тому ж рис. 12.2 ми зобразили розв'язки рівняння tg x = a.

Побудуємо графік функції y = ctg x. Найпростіше, скориставшись формулою наведення ctg x = tg(π/2 − x), отримати цей графік із графіка функції y = tg x за допомогою перетворень на кшталт тих, що ми описували в попередньому параграфі. Результат – на рис. 12.3

Завдання 12.1. Графік функції y = ctg x виходить із графіка функції y = tg x за допомогою симетрії щодо деякої прямої. Який саме? Чи є інші прямі із зазначеною властивістю?

Завдання 12.2. Який вигляд має рівняння прямої, що стосується графіка функції y = ctg x у точці з координатами (π/2; 0)?

Завдання 12.3. Порівняйте числа: а) tg(13π/11) та tg 3,3π; б) tg 9,6π та ctg(−11,3π).

Завдання 12.4. Розташуйте числа у порядку зростання: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Завдання 12.5. Побудуйте графіки функцій:

Завдання 12.7. Побудуйте графік функції y = arctg x + arctg(1/x).

§ 13. Чому дорівнює sin x + cos x?

У цьому параграфі ми спробуємо вирішити таке завдання: яке найбільше значення може набувати вираз sin x+cos x?

Якщо ви правильно вважали, у вас мало вийти, що з усіх x, що входять до цієї таблиці, найбільше значення sin x + cos x

виходить при x, близьких до 45◦, або, радіальною мірою, до π/4.

Якщо x = π/4, точне значення sin x+cos x дорівнює 2. Виявляється, що наш результат, отриманий експериментальним шляхом, і

насправді вірний: при всіх x вірна нерівність sin x + cos x 6

2, так що 2 - найбільше із значень, що приймаються цим виразом.

У нас ще бракує коштів, щоб довести цю нерівність найбільш природним способом. Поки що ми покажемо, як звести його до завдання планіметрії.

Якщо 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Тому наше завдання переформулюється так: довести, що сума довжин катетів прямокутного трикутника з гіпотенузою 1 буде максимальною, якщо цей трикутник є рівнобедреним.

Завдання 13.1. Доведіть це твердження.

Так як у рівнобедреного прямокутного трикутника з гі-

потенузою 1 сума довжин катетів дорівнює 2√ , з цього завдання випливає нерівність sin x + cos x 6 2 всім x, що у інтервалі (0; π/2). Звідси вже неважко зробити висновок, що ця нерівність виконана і взагалі для всіх x.

Результат задачі 13.1 є вірним не тільки для прямокутних трикутників.

Завдання 13.2. Доведіть, що серед усіх трикутників із даними величинами сторони AC та кута B найбільша сума AB + BC буде у рівнобедреного трикутника з основою AC.

Повернемося до тригонометрії.

Завдання 13.3. Користуючись таблицею синусів із § 3, побудуйте за точками графік функції y = sin x + cos x.

Вказівка. Не забудьте, що x має бути виражений у радіанах; Для значень x поза відрізком скористайтеся формулами приведення.

Якщо ви все зробили правильно, у вас мала вийти крива, схожа на синусоїду. Пізніше ми побачимо, що ця крива не просто схожа, а синусоїда. Навчимося ми також знаходити і найбільші значення таких виразів як 3 sin x + 4 cos x (до речі, графік функції y = 3 sin x + 4 cos x теж є синусоїдою!).