Mësimi "Funksionet y = tgx, y = ctgx, vetitë dhe grafikët e tyre." Mësimi "Funksionet y = tgx, y = ctgx, vetitë dhe grafikët e tyre" Hulumtim i funksioneve me tangjente

Ky video tutorial diskuton vetitë e funksioneve y =tgx, y = ctgx, tregon se si ndërtohen grafikët e tyre.

Video tutorial fillon me një vështrim në funksion y =tgx.

Vetitë e funksionit janë theksuar.

1) Domeni i përkufizimit të funksionit y =tgx thirren të gjithë numrat realë, përveç x =π/2 + 2 πk. ato. nuk ka pika në grafik që i përkasin vijës x =π/2 dhe x = -π/2, si dhe x = 3π/2 e kështu me radhë (me të njëjtën periodicitet). Pra grafiku i funksionit y =tgx do të përbëhet nga një numër i pafund degësh që do të vendosen në hapësirat ndërmjet vijave të drejta x = - 3π/2 dhe x = -π/2, x = -π/2 dhe x = π/2 e kështu me radhë.

2) Funksioni y =tgxështë periodike, ku periudha kryesore është π. Kjo konfirmon barazinë tg(x- π ) = tg x =tg(x+π ) . Këto barazi janë studiuar më herët, autori fton studentët t'i rikujtojnë, duke vënë në dukje se për çdo vlerë të vlefshme t barazitë janë të vlefshme:

tg(t+ π ) = tg t, dhe c tg(t+π ) = ctg t. Pasoja e këtyre barazive është se nëse njëra degë e grafikut të funksionit y = tan x në mes të rreshtave X = - π/2 dhe X= π/2, atëherë degët e mbetura mund të merren duke e zhvendosur këtë degë përgjatë boshtit x nga π, 2π dhe kështu me radhë.

3) Funksioni y =tgxështë e çuditshme, sepse . tg(- x) =- tg x.

Më pas, le të kalojmë në ndërtimin e një grafiku të funksionit y =tgx. Siç vijon nga vetitë e funksionit të përshkruar më sipër, funksioni y =tgx periodike dhe tek. Prandaj, mjafton të ndërtohet një pjesë e grafikut - një degë në një interval, dhe më pas të përdoret simetria për transferim. Autori ofron një tabelë në të cilën llogariten vlerat tgx në vlera të caktuara x për vizatim më të saktë. Këto pika janë të shënuara në boshtin koordinativ dhe të lidhura me një vijë të lëmuar. Sepse Nëse grafiku është simetrik në lidhje me origjinën e koordinatave, atëherë ndërtohet e njëjta degë, simetrike në lidhje me origjinën e koordinatave. Si rezultat, marrim një degë të grafikut y =tgx. Më pas, duke përdorur një zhvendosje përgjatë boshtit x me π, 2 π, e kështu me radhë, merret një grafik y =tgx.

Grafiku i një funksioni y =tgx quhet tangentoid dhe tre degët e grafikut të paraqitur në figurë janë degët kryesore të tangentoidit.

4) Funksioni y =tgx në secilin nga intervalet (- + ; +) rritet.

5) Grafiku i funksionit y =tgx nuk ka kufizime mbi ose poshtë.

6) Funksioni y =tgx nuk ka vlerën më të madhe dhe më të vogël.

7) Funksioni y =tgx e vazhdueshme në çdo interval (- - π/2+π;π/2+π). Drejtëza π/2+π quhet asimptotë e grafikut të funksionit y =tgx, sepse në këto pika grafiku i funksionit ndërpritet.

8) Një grup vlerash funksioni y =tgx thirren të gjithë numrat realë.

Më tej në video-tutorial është dhënë një shembull: zgjidh ekuacionin me tgx. Për të zgjidhur, ne do të ndërtojmë 2 grafikë të funksionit në dhe gjeni pikat e kryqëzimit të këtyre grafikëve: ky është një grup i pafund pikash, abshisat e të cilave ndryshojnë me πk. Rrënja e këtij ekuacioni do të jetë X= π/6 +πk.

Merrni parasysh grafikun e funksionit y =ctgx. Një funksion mund të grafikohet në dy mënyra.

Metoda e parë përfshin ndërtimin e një grafiku të ngjashëm me ndërtimin e një grafi funksionet y =tgx. Le të ndërtojmë një degë të grafikut të funksionit y = ctgx në mes të rreshtave X= 0u X= π. Më pas, duke përdorur simetrinë dhe periodicitetin, do të ndërtojmë degë të tjera të grafikut.

Metoda e dytë është më e thjeshtë. Grafiku i një funksioni y = сtgx mund të merret duke transformuar tangjentet duke përdorur formulën e reduktimit Metgx = - tg(x +π/2). Për ta bërë këtë, le të zhvendosim një degë të grafikut të funksionit y = tgx përgjatë boshtit x nga π/2 në të djathtë. Degët e mbetura fitohen duke zhvendosur këtë degë përgjatë boshtit x me π, 2π, e kështu me radhë. Grafiku i funksionit y = ctg x quhet edhe tangentoid, dhe dega e grafikut në intervalin (0;π) është dega kryesore e tangentoidit.

DEKODIMI I TEKSTIT:

Ne do të shqyrtojmë vetitë e funksionit y = tan x (y është e barabartë me tangjenten x), y = ctg x (y është e barabartë me kotangjenten x) dhe do të ndërtojmë grafikët e tyre. Konsideroni funksionin y = tgx

Para se të vizatojmë funksionin y = tan x, le të shkruajmë vetitë e këtij funksioni.

VETITË 1. Fusha e përkufizimit të funksionit y = tan x janë të gjithë numrat realë, përveç numrave të formës x = + πk (x është e barabartë me shumën e pi mbi dy dhe pi ka).

Kjo do të thotë se në grafikun e këtij funksioni nuk ka pika që i përkasin drejtëzës x = (marrim nëse k = 0 ka është e barabartë me zero) dhe drejtëzën x = (x është e barabartë me minus pi me dy) (ne merrni nëse k = - 1 ka është e barabartë me minus një), dhe drejtëza x = (x është e barabartë me tre pi me dy) (marrim nëse k = 1 është e barabartë me një), etj. Kjo do të thotë se grafiku i funksionit y = tan x do të përbëhet nga një numër i pafund degësh që do të vendosen në intervalet ndërmjet drejtëzave. Domethënë, në brezin midis x = dhe x =-; në shiritin x = - dhe x = ; në shiritin x = dhe x = dhe kështu me radhë ad infinitum.

VETI 2. Funksioni y = tan x është periodik me periodën kryesore π. (Meqenëse barazia e dyfishtë është e vërtetë

tan(x- π) = tanx = tan (x+π) tangjentja e x minus pi është e barabartë me tangjenten e x dhe e barabartë me tangjenten e x plus pi). Ne e konsideruam këtë barazi kur studionim tangjenten dhe kotangjenten. Le t'i kujtojmë atij:

Për çdo vlerë të pranueshme të t, barazitë janë të vlefshme:

tg (t + π)= tgt

ctg (t + π) = ctgt

Nga kjo barazi rrjedh se, pasi kemi ndërtuar një degë të grafikut të funksionit y = tan x në intervalin nga x = - dhe x =, marrim degët e mbetura duke zhvendosur degën e ndërtuar përgjatë boshtit X me π, 2π. , dhe kështu me radhë.

VETITË 3. Funksioni y = tan x është një funksion tek, pasi barazia tg (- x) = - tan x është e vërtetë.

Le të paraqesim funksionin y = tan x

Meqenëse ky funksion është periodik, përbëhet nga një numër i pafund degësh (në shiritin midis x = dhe x =, si dhe në shiritin midis x = dhe x =, etj.) dhe tek, ne do të ndërtojmë një pjesë të grafikoni pikë për pikë në intervalin nga zero në pi me dy (), pastaj përdorni simetrinë e origjinës dhe periodicitetit.

Le të ndërtojmë një tabelë të vlerave tangjente për vizatim.

Gjejmë pikën e parë: duke ditur se në x = 0 tan x = 0 (x është e barabartë me zero, tan x është gjithashtu e barabartë me zero); pika tjetër: në x = tan x = (x e barabartë me pi me gjashtë, tangjentja x është e barabartë me rrënjën e tre me tre); Le të vëmë re pikat e mëposhtme: në x = tan x = 1 (x e barabartë me pi me katër tan x është e barabartë me një), dhe në x = tg x = (x e barabartë me pi me tre tan x është e barabartë me rrënjën katrore nga tre). Shënoni pikat që rezultojnë në planin koordinativ dhe lidhini ato me një vijë të lëmuar (Fig. 2).

Meqenëse grafiku i funksionit është simetrik në lidhje me origjinën e koordinatave, ne do të ndërtojmë të njëjtën degë në mënyrë simetrike në lidhje me origjinën e koordinatave. (Fig. 3).

Dhe së fundi, duke aplikuar periodicitetin, marrim një grafik të funksionit y = tan x.

Ne kemi ndërtuar një degë të grafikut të funksionit y = tan x në shirit nga x = - dhe x =. Degët e mbetura i ndërtojmë duke zhvendosur degën e ndërtuar përgjatë boshtit X me π, 2π, e kështu me radhë.

Komploti i krijuar quhet tangentoid.

Pjesa e tangentoidit e paraqitur në figurën 3 quhet dega kryesore e tangentoidit.

Në bazë të grafikut, do të shkruajmë disa veçori të tjera të këtij funksioni.

VETITË 4. Funksioni y = tan x rritet në secilin nga intervalet (nga minus pi me dy plus pi ka në pi me dy plus pi ka).

VETITË 5. Funksioni y = tan x nuk është i kufizuar as sipër as poshtë.

VETI 6. Funksioni y = tan x nuk ka as vlerat më të mëdha dhe as më të voglat.

VETI 7. Funksioni y = tan x është i vazhdueshëm në çdo interval të formës (nga minus pi me dy plus pi ka në pi me dy plus pi ka).

Një vijë e drejtë e formës x = + πk (x është e barabartë me shumën e pi mbi dy dhe pi ka) është një asimptotë vertikale e grafikut të funksionit, pasi në pikat e formës x = + πk funksioni pëson një ndërprerje.

VETITË 8. Bashkësia e vlerave të funksionit y = tan x janë të gjithë numra realë, domethënë (e nga eff është e barabartë me intervalin nga minus pafundësia në plus pafundësi).

SHEMBULL 1. Zgjidheni ekuacionin tg x = (tangjentja x është e barabartë me rrënjën tre me tre).

Zgjidhje. Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve y = tan x në një sistem koordinativ

(y është e barabartë me tangjenten e x) dhe y = (y është e barabartë me rrënjën e tre pjesëtuar me tre).

Kemi marrë pafundësisht shumë pika kryqëzimi, abshisa e të cilave ndryshojnë nga njëra-tjetra me πk (pi ka), meqë tg x = në x =, atëherë abshisa e pikës së kryqëzimit në degën kryesore është e barabartë me (pi me gjashtë).

Ne i shkruajmë të gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni me formulën x = + πk (x është e barabartë me pi shumëfish gjashtë plus pi ka).

Përgjigje: x = + πk.

Le të ndërtojmë një grafik të funksionit y = сtg x.

Le të shqyrtojmë dy mënyra ndërtimi.

Mënyra e parëështë e ngjashme me vizatimin e funksionit y = tan x.

Meqenëse ky funksion është periodik, përbëhet nga një numër i pafund degësh (në brezin midis x = 0 dhe x =π, si dhe në brezin midis x =π dhe x = 2π, etj.) dhe tek, ne do të ndërtojmë një pjesë e grafikut pikë për pikë në intervalin nga zero në pi me dy (), atëherë do të përdorim simetrinë dhe periodicitetin.

Le të përdorim tabelën e vlerave të kotangjentës për të ndërtuar një grafik.

Shënoni pikat që rezultojnë në planin koordinativ dhe lidhini ato me një vijë të lëmuar.

Meqenëse grafiku i funksionit është relativisht simetrik, do të ndërtojmë të njëjtën degë në mënyrë simetrike.

Le të zbatojmë periodicitetin dhe të marrim një grafik të funksionit y = сtg x.

Kemi ndërtuar një degë të grafikut të funksionit y = сtg x në shirit nga x = 0 dhe x =π. Degët e mbetura i ndërtojmë duke zhvendosur degën e ndërtuar përgjatë boshtit x me π, - π, 2π, - 2π e kështu me radhë.

Mënyra e dytë vizatimi i funksionit y =сtg x.

Mënyra më e lehtë për të marrë një grafik të funksionit y =сtg x është transformimi i tangjentes, duke përdorur formulën e reduktimit (kotangjentja x është e barabartë me minus tangjenten e shumës së x dhe pi me dy).

Në këtë rast, së pari, zhvendosim degën e grafikut të funksionit y =tg x përgjatë boshtit të abshisës djathtas, marrim

y = tg (x+), dhe më pas kryejmë simetrinë e grafikut që rezulton në lidhje me boshtin e abshisave. Rezultati do të jetë një degë e grafikut të funksionit y =сtg x (Fig. 4). Duke ditur një degë, ne mund të ndërtojmë të gjithë grafikun duke përdorur periodicitetin e funksionit. Degët e mbetura i ndërtojmë duke zhvendosur degën e ndërtuar përgjatë boshtit x me π, 2π, e kështu me radhë.

Grafiku i funksionit y =сtg x quhet edhe tangentoid, ashtu si grafiku i funksionit y =tg x. Dega që shtrihet në intervalin nga zero në pi quhet degë kryesore e grafikut të funksionit y = сtg x.

Me qendër në pikën A.
α është këndi i shprehur në radianë.

Tangjente ( tan α) është një funksion trigonometrik në varësi të këndit α ndërmjet hipotenuzës dhe këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë, i barabartë me raportin e gjatësisë së këmbës së kundërt |BC| në gjatësinë e këmbës ngjitur |AB| .

Kotangjente ( ctg α) është një funksion trigonometrik në varësi të këndit α ndërmjet hipotenuzës dhe këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë, i barabartë me raportin e gjatësisë së këmbës ngjitur |AB| në gjatësinë e këmbës së kundërt |BC| .

Tangjente

Ku n- e tërë.

Në letërsinë perëndimore, tangjenta shënohet si më poshtë:
.
;
;
.

Grafiku i funksionit tangjent, y = tan x

Kotangjente

Ku n- e tërë.

Në literaturën perëndimore, kotangjenti shënohet si më poshtë:
.
Shënimet e mëposhtme pranohen gjithashtu:
;
;
.

Grafiku i funksionit kotangjent, y = ctg x

Vetitë e tangjentes dhe kotangjentes

Periodiciteti

Funksionet y = tg x dhe y = ctg x janë periodike me periodë π.

Barazi

Funksionet tangjente dhe kotangjente janë tek.

Fushat e përkufizimit dhe vlerave, në rritje, në rënie

Funksionet tangjente dhe kotangjente janë të vazhdueshme në fushën e tyre të përkufizimit (shih vërtetimin e vazhdimësisë). Karakteristikat kryesore të tangjentës dhe kotangjentës janë paraqitur në tabelë ( n- e tërë).

Formulat

Shprehje duke përdorur sinusin dhe kosinusin

; ;
; ;
;

Formulat për tangjenten dhe kotangjenten nga shuma dhe diferenca

Formulat e mbetura janë të lehta për t'u marrë, për shembull

Produkti i tangjentëve

Formula për shumën dhe ndryshimin e tangjentave

Kjo tabelë paraqet vlerat e tangjentave dhe kotangjentave për vlera të caktuara të argumentit.

Shprehje duke përdorur numra kompleks

Shprehjet përmes funksioneve hiperbolike

;
;

Derivatet

; .

.
Derivat i rendit të n-të në lidhje me ndryshoren x të funksionit:
.
Nxjerrja e formulave për tangjenten > > > ; për kotangjent > > >

Integrale

Zgjerimet e serive

Për të marrë zgjerimin e tangjentes në fuqitë x, duhet të merrni disa terma të zgjerimit në një seri fuqie për funksionet mëkat x Dhe cos x dhe ndani këto polinome me njëri-tjetrin, . Kjo prodhon formulat e mëposhtme.

Në .

në .
Ku Bn- Numrat Bernoulli. Ato përcaktohen ose nga relacioni i përsëritjes:
;
;
Ku .
Ose sipas formulës së Laplace:

Funksionet e anasjellta

Funksionet e anasjellta të tangjentes dhe kotangjentes janë përkatësisht arktangjente dhe arkotangjente.

Arctangent, arctg

, Ku n- e tërë.

Arccotangent, arcctg

, Ku n- e tërë.

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.
G. Korn, Manual i Matematikës për Shkencëtarët dhe Inxhinierët, 2012.

, [−5π/2; −3π/2],. . . - me një fjalë, në të gjitha segmentet [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], ku k Z, dhe zvogëlohet në të gjitha segmentet

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], ku n Z.

Problemi 11.6. Në cilat segmente funksioni y = cos x rritet dhe në cilët zvogëlohet?

Problemi 11.8. Renditni në rend rritës: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Grafikët e tangjentes dhe kotangjentes

Le të paraqesim funksionin y = tan x. Së pari, le ta ndërtojmë atë për numrat x që i përkasin intervalit (−π/2; π/2).

Nëse x = 0, atëherë tan x = 0; kur x rritet nga 0 në π/2, rritet edhe tan x - kjo mund të shihet nëse shikoni boshtin tangjent (Fig. 12.1 a). Ndërsa x i afrohet π/2, duke mbetur më i vogël

Oriz. 12.2. y = tan x.

π/2, vlera e tan x rritet (pika M në Fig. 12.1 a shkon gjithnjë e më lart) dhe, padyshim, mund të bëhet një numër pozitiv arbitrarisht i madh. Po kështu, kur x zvogëlohet nga 0 në −π/2, tan x bëhet një numër negativ vlera absolute e të cilit rritet kur x i afrohet −π/2. Për x = π/2 ose −π/2, funksioni tan x është i papërcaktuar. Prandaj, grafiku y = tan x për x (−π/2; π/2) duket përafërsisht si në Fig. 12.1 b.

Pranë origjinës së koordinatave, kurba jonë është afër drejtëzës y = x x: në fund të fundit, për kënde të vogla akute barazia e përafërt tg x ≈ x është e vërtetë. Mund të themi se drejtëza y = x prek grafikun e funksionit y = tan x në origjinë. Përveç kësaj, kurba në Fig. 12.1 b është simetrike në lidhje me origjinën. Kjo shpjegohet me faktin se funksioni y = tan x është tek, pra vlen identiteti tg(−x) = − tan x.

Për të vizatuar funksionin y = tan x për të gjitha x, kujtoni se tan x është një funksion periodik me periudhë π. Prandaj, për të marrë një grafik të plotë të funksionit y = tan x, është e nevojshme të përsëritet lakore në Fig pafundësisht shumë herë. 12.1 b, duke e lëvizur atë përgjatë abshisës në distanca πn, ku n është një numër i plotë. Pamja përfundimtare e grafikut të funksionit y = tan x është në Fig. 12.2.

Sipas grafikut, edhe një herë shohim se funksioni y = tan x

Oriz. 12.3. y = cotg x.

nuk është përcaktuar për x = π/2 + πn, n Z, pra për ato x për të cilat cos x = 0. Vija vertikale me ekuacione x = π/2, 3π/2,. . . , të cilave degët e afrimit të grafikut quhen asimptota të grafikut.

Në të njëjtin fig. 12.2 kemi paraqitur zgjidhje të ekuacionit tg x = a.

Le të vizatojmë funksionin y = cot x. Mënyra më e lehtë është përdorimi i formulës së reduktimit ctg x = tan(π/2 − x) për të marrë këtë grafik nga grafiku i funksionit y = tan x duke përdorur transformime të ngjashme me ato që përshkruam në paragrafin e mëparshëm. Rezultati është treguar në Fig. 12.3

Problemi 12.1. Grafiku i funksionit y = ctg x përftohet nga grafiku i funksionit y = tan x duke përdorur simetrinë rreth një drejtëze të caktuar. Cila? A ka linja të tjera me këtë pronë?

Problemi 12.2. Si duket ekuacioni i drejtëzës tangjente me grafikun e funksionit y = cot x në një pikë me koordinata (π/2; 0)?

Problemi 12.3. Krahasoni numrat: a) tg(13π/11) dhe tg 3,3π; b) tan 9,6π dhe cot (−11,3π).

Problemi 12.4. Radhiti numrat në rend rritës: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Problemi 12.5. Grafikoni funksionet:

Problemi 12.7. Paraqitni funksionin y = arctan x + arctan(1/x).

§ 13. Çfarë është sin x + cos x e barabartë?

Në këtë pjesë do të përpiqemi të zgjidhim problemin e mëposhtëm: cila është vlera më e madhe që mund të marrë shprehja sin x + cos x?

Nëse keni numëruar saktë, duhet të kishit gjetur se nga të gjitha x të përfshira në këtë tabelë, vlera më e madhe është sin x + cos x

përftohet për x afër 45◦, ose, në masë radian, me π/4.

Nëse x = π/4, vlera e saktë e sin x+cos x është 2. Rezulton se rezultati ynë i marrë eksperimentalisht, dhe në

është në të vërtetë e vërtetë: për të gjitha x pabarazia sin x + cos x 6 është e vërtetë

2, pra 2 është vlera më e madhe e pranuar nga kjo shprehje.

Nuk kemi ende mjete të mjaftueshme për ta vërtetuar këtë pabarazi në mënyrën më të natyrshme. Tani për tani, ne do të tregojmë se si ta reduktojmë atë në një problem planimetrike.

Nëse 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Prandaj, detyra jonë riformulohet si më poshtë: të vërtetojmë se shuma e gjatësive të këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë me hipotenuzë 1 do të jetë maksimale nëse ky trekëndësh është dykëndësh.

Problemi 13.1. Vërtetoni këtë deklaratë.

Meqenëse një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh me hy-

Potenuse 1, shuma e gjatësive të këmbëve është e barabartë me 2√, rezultati i këtij problemi nënkupton pabarazinë sin x + cos x 6 2 për të gjitha x që shtrihen në intervalin (0; π/2). Nga këtu nuk është e vështirë të konkludohet se kjo pabarazi vlen për të gjitha x në përgjithësi.

Rezultati i problemit 13.1 nuk është i vërtetë vetëm për trekëndëshat kënddrejtë.

Problemi 13.2. Vërtetoni se midis të gjithë trekëndëshave me vlera të dhëna të brinjës AC dhe këndit B, shuma më e madhe AB + BC do të jetë për një trekëndësh dykëndësh me bazë AC.

Le të kthehemi te trigonometria.

Problemi 13.3. Duke përdorur tabelën e sinuseve nga § 3, ndërtoni një grafik pikë për pikë të funksionit y = sin x + cos x.

Shënim. Mos harroni se x duhet të shprehet në radianë; Për vlerat x jashtë intervalit, përdorni formulat e reduktimit.

Nëse keni bërë gjithçka në mënyrë korrekte, duhet të keni një kurbë që duket si një valë sinusi. Më vonë do të shohim se kjo kurbë nuk është thjesht e ngjashme, por është një sinusoid. Do të mësojmë gjithashtu të gjejmë vlerat më të mëdha të shprehjeve të tilla si 3 sin x + 4 cos x (nga rruga, grafiku i funksionit y = 3 sin x + 4 cos x është gjithashtu një sinusoid!).