Lecția „Funcțiile y = tgx, y = ctgx, proprietățile și graficele lor.” Lecția „Funcțiile y = tgx, y = ctgx, proprietățile și graficele lor” Cercetarea funcțiilor cu tangentă

Acest tutorial video discută proprietățile funcțiilor y =tgx, y = ctgX, arată cum să-și construiască graficele.

Tutorialul video începe cu o privire asupra funcției y =tgX.

Sunt evidențiate proprietățile funcției.

1) Domeniul de definire a funcției y =tgX toate numerele reale sunt numite, cu excepția x =π/2 + 2 πk. Acestea. nu există puncte pe grafic care să aparțină dreptei x =π/2 și x = -π/2, precum și x = 3π/2 și așa mai departe (cu aceeași periodicitate). Deci graficul funcției y =tgX va consta dintr-un număr infinit de ramuri care vor fi situate în spaţiile dintre liniile drepte x = - 3π/2 și x = -π/2 , x = -π/2 și x = π/2 și așa mai departe.

2) Funcția y =tgX este periodică, unde perioada principală este π. Aceasta confirmă egalitatea tg(x- π ) = tg x =tg(x+π ) . Aceste egalități au fost studiate mai devreme, autorul invită elevii să le amintească, subliniind că pentru orice valoare valabilă t egalitățile sunt valabile:

tg(t+ π ) = tg t, și c tg(t+π ) = ctg t. Consecința acestor egalități este că dacă o ramură a graficului funcției y = tan Xîntre rânduri X = - π/2 și X= π/2, atunci ramurile rămase pot fi obținute prin deplasarea acestei ramuri de-a lungul axei x cu π, 2π și așa mai departe.

3) Funcția y =tgX este ciudat, pentru că . tg(- x) =- tg x.

În continuare, să trecem la construirea unui grafic al funcției y =tgX. După cum rezultă din proprietățile funcției descrise mai sus, funcția y =tgX periodice și impare. Prin urmare, este suficient să construiți o parte a graficului - o ramură într-un interval și apoi să utilizați simetria pentru transfer. Autorul oferă un tabel în care sunt calculate valorile tgX la anumite valori X pentru o reprezentare mai precisă. Aceste puncte sunt marcate pe axa de coordonate și conectate printr-o linie netedă. Deoarece Dacă graficul este simetric față de originea coordonatelor, atunci se construiește aceeași ramură, simetrică față de originea coordonatelor. Ca rezultat, obținem o ramură a graficului y =tgX. Apoi, folosind o deplasare de-a lungul axei x cu π, 2 π și așa mai departe, se obține un grafic y =tgX.

Graficul unei funcții y =tgX se numește tangentoid, iar cele trei ramuri ale graficului prezentat în figură sunt ramurile principale ale tangentoidului.

4) Funcția y =tgX la fiecare dintre intervalele (- + ; +) crește.

5) Graficul funcției y =tgX nu are restricții deasupra sau dedesubt.

6) Funcția y =tgX nu are cea mai mare și cea mai mică valoare.

7) Funcția y =tgX continuu pe orice interval (- - π/2+π;π/2+π). Linia dreaptă π/2+π se numește asimptota graficului funcției y =tgX, deoarece în aceste puncte graficul funcţiei este întrerupt.

8) Set de valori ale funcției y =tgX toate numerele reale sunt numite.

Mai departe, în tutorialul video este dat un exemplu: rezolvați ecuația cu tgX. Pentru a rezolva, vom construi 2 grafice ale funcției lași găsiți punctele de intersecție ale acestor grafice: acesta este un set infinit de puncte ale căror abscise diferă cu πk. Rădăcina acestei ecuații va fi X= π/6 +πk.

Luați în considerare graficul funcției y =ctgX. O funcție poate fi reprezentată grafic în două moduri.

Prima metodă implică construirea unui grafic similar cu construirea unui grafic funcțiile y =tgX. Să construim o ramură a graficului funcției y = ctgXîntre rânduri X= 0u X= π. Apoi, folosind simetria și periodicitatea, vom construi alte ramuri ale graficului.

A doua metodă este mai simplă. Graficul unei funcții y = сtgx se poate obţine prin transformarea tangentelor folosind formula de reducere Cutgx = - tg(x +π/2). Pentru a face acest lucru, să deplasăm o ramură a graficului funcției y = tgx de-a lungul axei x cu π/2 spre dreapta. Ramurile rămase sunt obținute prin deplasarea acestei ramuri de-a lungul axei x cu π, 2π și așa mai departe. Graficul funcției y = ctg X se mai numește și tangentoid, iar ramura graficului din intervalul (0;π) este ramura principală a tangentoidului.

DECODIFICAREA TEXTULUI:

Vom lua în considerare proprietățile funcției y = tan x (y este egal cu tangentei x), y = ctg x (y este egal cu cotangentei x) și vom construi graficele acestora. Se consideră funcția y = tgx

Înainte de a reprezenta graficul funcției y = tan x, să notăm proprietățile acestei funcții.

PROPRIETATE 1. Domeniul de definiție al funcției y = tan x este toate numerele reale, cu excepția numerelor de forma x = + πk (x este egal cu suma lui pi peste doi și pi ka).

Aceasta înseamnă că pe graficul acestei funcții nu există puncte care aparțin dreptei x = (se obține dacă k = 0 ka este egal cu zero) și linia x = (x este egală cu minus pi cu doi) (noi obțineți dacă k = - 1 ka este egal cu minus unu), iar linia dreaptă x = (x este egală cu trei pi pe doi) (obținem dacă k = 1 este egal cu unu), etc. Aceasta înseamnă că graficul a functiei y = tan x va consta dintr-un numar infinit de ramuri care vor fi situate in intervalele dintre drepte. Și anume, în banda dintre x = și x =-; în fâșia x = - și x = ; în fâșia x = și x = și așa mai departe la infinit.

PROPRIETATE 2. Functia y = tan x este periodica cu perioada principala π. (Deoarece dubla egalitate este adevărată

tan(x- π) = tanx = tan (x+π) tangenta lui x minus pi este egală cu tangenta lui x și egală cu tangenta lui x plus pi). Am considerat această egalitate atunci când am studiat tangenta și cotangente. Să-i reamintim:

Pentru orice valoare admisibilă a lui t egalitățile sunt valabile:

tg (t + π)= tgt

ctg (t + π) = ctgt

Din această egalitate rezultă că, după ce am construit o ramură a graficului funcției y = tan x în intervalul de la x = - și x =, obținem ramurile rămase prin deplasarea ramurii construite de-a lungul axei X cu π, 2π , și așa mai departe.

PROPRIETATE 3. Funcția y = tan x este o funcție impară, deoarece egalitatea tg (- x) = - tan x este adevărată.

Să reprezentăm grafic funcția y = tan x

Deoarece această funcție este periodică, constă dintr-un număr infinit de ramuri (în banda dintre x = și x =, precum și în banda dintre x = și x = etc.) și impare, vom construi o parte din reprezentați grafic punct cu punct în intervalul de la zero la pi cu doi (), apoi utilizați simetria originii și periodicitatea.

Să construim un tabel de valori tangente pentru reprezentare.

Primul punct îl găsim: știind că la x = 0 tan x = 0 (x este egal cu zero, și tan x este egal cu zero); următorul punct: la x = tan x = (x egal cu pi cu șase, tangenta x este egală cu rădăcina lui trei cu trei); Să notăm următoarele puncte: la x = tan x = 1 (x egal cu pi cu patru tan x este egal cu unu), iar la x = tg x = (x egal cu pi cu trei tan x este egal cu rădăcina pătrată din trei). Marcați punctele rezultate pe planul de coordonate și conectați-le cu o linie netedă (Fig. 2).

Deoarece graficul funcției este simetric față de originea coordonatelor, vom construi aceeași ramură simetric față de originea coordonatelor. (Fig. 3).

Și în final, aplicând periodicitatea, obținem un grafic al funcției y = tan x.

Am construit o ramură a graficului funcției y = tan x în banda din x = - și x =. Construim ramurile rămase deplasând ramura construită de-a lungul axei X cu π, 2π și așa mai departe.

Graficul creat se numește tangentoid.

Partea tangentoidului prezentată în figura 3 se numește ramura principală a tangentoidului.

Pe baza graficului, vom scrie mai multe proprietăți ale acestei funcții.

PROPRIETATE 4. Funcția y = tan x crește pe fiecare dintre intervale (de la minus pi cu doi plus pi ka la pi cu doi plus pi ka).

PROPRIETATE 5. Funcția y = tan x nu este mărginită nici deasupra, nici dedesubt.

PROPRIETATE 6. Funcția y = tan x nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori.

PROPRIETATE 7. Functia y = tan x este continua pe orice interval de forma (de la minus pi cu doi plus pi ka la pi cu doi plus pi ka).

O linie dreaptă de forma x = + πk (x este egală cu suma lui pi peste doi și pi ka) este o asimptotă verticală a graficului funcției, deoarece în puncte de forma x = + πk funcția suferă o discontinuitate.

PROPRIETATE 8. Mulțimea de valori ale funcției y = tan x sunt toate numere reale, adică (e din eff este egal cu intervalul de la minus infinit la plus infinit).

EXEMPLU 1. Rezolvați ecuația tg x = (tangenta x este egală cu rădăcina lui trei cu trei).

Soluţie. Să construim grafice ale funcțiilor y = tan x într-un sistem de coordonate

(y este egal cu tangenta lui x) și y = (y este egal cu rădăcina lui trei împărțită la trei).

Am obținut infinit de puncte de intersecție, a căror abscisă diferă între ele prin πk (pi ka Deoarece tg x = la x =, atunci abscisa punctului de intersecție de pe ramura principală este egală cu (pi cu șase).

Scriem toate soluțiile acestei ecuații cu formula x = + πk (x este egal cu pi ori șase plus pi ka).

Răspuns: x = + πk.

Să construim un grafic al funcției y = сtg x.

Să luăm în considerare două metode de construcție.

Prima cale este similar cu reprezentarea grafică a funcției y = tan x.

Deoarece această funcție este periodică, constă dintr-un număr infinit de ramuri (în banda dintre x = 0 și x =π, precum și în banda dintre x =π și x = 2π etc.) și impare, vom construi o parte a graficului punct cu punct pe intervalul de la zero la pi cu doi (), atunci vom folosi simetria și periodicitatea.

Să folosim tabelul valorilor cotangente pentru a construi un grafic.

Marcați punctele rezultate pe planul de coordonate și conectați-le cu o linie netedă.

Deoarece graficul funcției este relativ simetric, vom construi aceeași ramură simetric.

Să aplicăm periodicitatea și să obținem un grafic al funcției y = сtg x.

Am construit o ramură a graficului funcției y = сtg x în banda din x = 0 și x =π. Construim ramurile rămase deplasând ramura construită de-a lungul axei x cu π, - π, 2π, - 2π și așa mai departe.

A doua cale trasând funcția y =сtg x.

Cel mai simplu mod de a obține un grafic al funcției y =сtg x este transformarea tangentei, folosind formula de reducere (cotangenta x este egală cu minus tangentei sumei lui x și pi cu doi).

În acest caz, mai întâi, deplasăm ramura graficului funcției y =tg x de-a lungul axei absciselor spre dreapta, obținem

y = tg (x+), iar apoi efectuăm simetria graficului rezultat în raport cu axa absciselor. Rezultatul va fi o ramură a graficului funcției y =сtg x (Fig. 4). Cunoscând o ramură, putem construi întregul grafic folosind periodicitatea funcției. Construim ramurile rămase deplasând ramura construită de-a lungul axei x cu π, 2π și așa mai departe.

Graficul funcției y =сtg x se mai numește și tangentoid, la fel ca și graficul funcției y =tg x. Ramura care se află în intervalul de la zero la pi se numește ramura principală a graficului funcției y = сtg x.

Centrat în punctul A.
α este unghiul exprimat în radiani.

Tangenta ( tan α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .

Cotangent ( ctg α) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .

Tangentă

Unde n- întreg.

În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
;
;
.

Graficul funcției tangente, y = tan x

Cotangentă

Unde n- întreg.

În literatura occidentală, cotangenta este desemnată după cum urmează:
.
De asemenea, sunt acceptate următoarele notații:
;
;
.

Graficul funcției cotangente, y = ctg x

Proprietățile tangentei și cotangentei

Periodicitate

Funcțiile y = tg xși y = ctg x sunt periodice cu perioada π.

Paritate

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.

Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue în domeniul lor de definire (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( n- întreg).

Formule

Expresii folosind sinus și cosinus

; ;
; ;
;

Formule pentru tangentă și cotangentă din sumă și diferență

Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

Acest tabel prezintă valorile tangentelor și cotangentelor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii folosind numere complexe

Expresii prin funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; .

.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangentă > > > ; pentru cotangent >>>

Integrale

Extinderi de serie

Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții sin xȘi cos xși împărțiți aceste polinoame între ele, . Aceasta produce următoarele formule.

La .

la .
Unde Bn- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
;
;
Unde .
Sau conform formulei lui Laplace:

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale tangentei și cotangentei sunt arctangente și, respectiv, arccotangente.

Arctangent, arctg

, Unde n- întreg.

Arccotangent, arcctg

, Unde n- întreg.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri, 2012.

, [−5π/2; −3π/2],. . . - într-un cuvânt, pe toate segmentele [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], unde k Z, și scade pe toate segmentele

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], unde n Z.

Problema 11.6. Pe ce segmente crește funcția y = cos x și pe care scade?

Problema 11.8. Aranjați în ordine crescătoare: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. Grafice ale tangentei și cotangentei

Să reprezentăm grafic funcția y = tan x. Mai întâi, să-l construim pentru numerele x aparținând intervalului (−π/2; π/2).

Dacă x = 0, atunci tan x = 0; când x crește de la 0 la π/2, tan x crește și el - acest lucru se poate observa dacă te uiți la axa tangentei (Fig. 12.1 a). Pe măsură ce x se apropie de π/2, rămânând mai mic

Orez. 12.2. y = tan x.

π/2, valoarea lui tan x crește (punctul M din Fig. 12.1 a merge din ce în ce mai sus) și poate deveni, evident, un număr pozitiv arbitrar de mare. De asemenea, pe măsură ce x scade de la 0 la −π/2, tan x devine un număr negativ a cărui valoare absolută crește pe măsură ce x se apropie de −π/2. Pentru x = π/2 sau −π/2, funcția tan x este nedefinită. Prin urmare, graficul y = tan x pentru x (−π/2; π/2) arată aproximativ ca în Fig. 12.1 b.

Aproape de originea coordonatelor, curba noastră este aproape de linia dreaptă y = x x: la urma urmei, pentru unghiurile acute mici egalitatea aproximativă tg x ≈ x este adevărată. Putem spune că linia y = x atinge graficul funcției y = tan x la origine. În plus, curba din Fig. 12.1 b este simetrică față de origine. Acest lucru se explică prin faptul că funcția y = tan x este impară, adică identitatea tg(−x) = − tan x este valabilă.

Pentru a reprezenta grafic funcția y = tan x pentru tot x, amintiți-vă că tan x este o funcție periodică cu perioada π. Prin urmare, pentru a obține un grafic complet al funcției y = tan x, este necesar să se repete curba din Fig. de nenumărate ori. 12.1 b, deplasându-l de-a lungul abscisei la distanțe πn, unde n este un număr întreg. Vederea finală a graficului funcției y = tan x este în Fig. 12.2.

Conform graficului, vedem din nou că funcția y = tan x

Orez. 12.3. y = cotg x.

nu este definită pentru x = π/2 + πn, n Z, adică pentru acele x pentru care cos x = 0. Drepte verticale cu ecuațiile x = π/2, 3π/2,. . . , la care ramurile grafului se apropie sunt numite asimptote ale grafului.

În aceeași fig. 12.2 am prezentat soluții ale ecuației tg x = a.

Să reprezentăm grafic funcția y = cot x. Cel mai simplu mod este să folosiți formula de reducere ctg x = tan(π/2 − x) pentru a obține acest grafic din graficul funcției y = tan x folosind transformări similare cu cele descrise în paragraful anterior. Rezultatul este prezentat în Fig. 12.3

Problema 12.1. Graficul funcției y = ctg x se obține din graficul funcției y = tan x folosind simetria în jurul unei anumite drepte. Care? Există și alte linii cu această proprietate?

Problema 12.2. Cum arată ecuația unei drepte tangente la graficul funcției y = cot x într-un punct cu coordonatele (π/2; 0)?

Problema 12.3. Comparați numerele: a) tg(13π/11) și tg 3,3π; b) tan 9,6π și cot(−11,3π).

Problema 12.4. Aranjați numerele în ordine crescătoare: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

Problema 12.5. Reprezentați grafic funcțiile:

Problema 12.7. Trasează funcția y = arctan x + arctan(1/x).

§ 13. Ce este egal sin x + cos x?

În această secțiune vom încerca să rezolvăm următoarea problemă: care este cea mai mare valoare pe care o poate lua expresia sin x + cos x?

Dacă ați numărat corect, ar fi trebuit să găsiți că dintre toate x incluse în acest tabel, cea mai mare valoare este sin x + cos x

se obține pentru x aproape de 45◦, sau, în radiani, la π/4.

Dacă x = π/4, valoarea exactă a lui sin x+cos x este 2. Rezultă că rezultatul nostru obţinut experimental, iar în

este de fapt adevărată: pentru tot x inegalitatea sin x + cos x 6 este adevărată

2, deci 2 este cea mai mare valoare acceptată de această expresie.

Nu avem încă suficiente mijloace pentru a demonstra această inegalitate în cel mai natural mod. Pentru moment, vom arăta cum să o reducem la o problemă de planimetrie.

Daca 0< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

Prin urmare, sarcina noastră este reformulată astfel: să demonstrăm că suma lungimilor catetelor unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza 1 va fi maximă dacă acest triunghi este isoscel.

Problema 13.1. Demonstrează această afirmație.

Deoarece un triunghi dreptunghic isoscel cu hi-

Potenuza 1, suma lungimilor catetelor este egală cu 2√, rezultatul acestei probleme implică inegalitatea sin x + cos x 6 2 pentru tot x situat în intervalul (0; π/2). De aici nu este greu de concluzionat că această inegalitate este valabilă pentru tot x în general.

Rezultatul problemei 13.1 nu este valabil numai pentru triunghiuri dreptunghiulare.

Problema 13.2. Demonstrați că dintre toate triunghiurile cu valori date ale laturii AC și unghiului B, cea mai mare sumă AB + BC va fi pentru un triunghi isoscel cu baza AC.

Să revenim la trigonometrie.

Problema 13.3. Folosind tabelul sinusurilor din § 3, construiți un grafic punct cu punct al funcției y = sin x + cos x.

Notă. Amintiți-vă că x trebuie exprimat în radiani; Pentru valorile x în afara intervalului, utilizați formulele de reducere.

Dacă ați făcut totul corect, ar trebui să aveți o curbă care arată ca o undă sinusoidală. Mai târziu vom vedea că această curbă nu este doar similară, ci este o sinusoidă. De asemenea, vom învăța să găsim cele mai mari valori ale expresiilor precum 3 sin x + 4 cos x (apropo, graficul funcției y = 3 sin x + 4 cos x este, de asemenea, o sinusoidă!).