레슨 "함수 y = tgx, y = ctgx, 해당 속성 및 그래프." "함수 y = tgx, y = ctgx, 해당 속성 및 그래프" 레슨 탄젠트를 사용한 함수 연구

이 비디오 튜토리얼에서는 함수의 속성에 대해 설명합니다. 와이 =tgx, y = CTG엑스, 그래프를 구성하는 방법을 보여줍니다.

비디오 튜토리얼은 기능을 살펴보는 것으로 시작됩니다. 와이 =tg엑스.

함수의 속성이 강조 표시됩니다.

1) 함수 정의 영역 와이 =tg엑스다음을 제외한 모든 실수가 호출됩니다. x =π/2 + 2 πk. 저것들. 그래프에는 선에 속하는 점이 없습니다. x =π/2 및 x = -π/2, x = 3π/2 등(동일한 주기성을 가짐). 그래서 함수의 그래프는 와이 =tg엑스직선 사이의 공간에 위치할 무한한 수의 가지로 구성됩니다. x = - 3π/2 및 x = -π/2 , x = -π/2 및 x = π/2 등등.

2) 기능 와이 =tg엑스는 주기적이며 주 주기는 π입니다. 이는 평등을 확인합니다. tg(x- π ) = tg x =tg(x+π ) . 이러한 평등은 이전에 연구되었으며 저자는 학생들에게 이를 회상하도록 권유하며 유효한 가치가 있음을 지적합니다. 티평등은 유효합니다:

tg(t+ π ) = tg t및 c tg(t+π ) = CTG T. 이러한 등식의 결과는 함수 y = tan 그래프의 한 가지가 엑스줄 사이에 엑스 = - π/2 및 엑스= π/2이면 나머지 가지들은 이 가지를 x 축을 따라 다음과 같이 이동하여 얻을 수 있습니다. π, 2π 등등.

3) 기능 와이 =tg엑스이상하다, 왜냐면 . tg(- 엑스) =- tg x.

다음으로 함수의 그래프를 구성해 보겠습니다. 와이 =tg엑스. 위에서 설명한 함수의 속성을 보면 다음과 같다. 와이 =tg엑스주기적이고 이상하다. 따라서 그래프의 일부(한 간격에 하나의 분기)를 구성한 다음 전송을 위해 대칭을 사용하는 것으로 충분합니다. 저자는 값이 계산되는 표를 제공합니다. tg엑스특정 값에서 엑스보다 정확한 플롯을 위해. 이 점들은 좌표축에 표시되고 부드러운 선으로 연결됩니다. 왜냐하면 그래프가 좌표 원점을 기준으로 대칭인 경우 좌표 원점을 기준으로 대칭인 동일한 가지가 구성됩니다. 결과적으로 우리는 그래프의 한 가지를 얻습니다. 와이 =tg엑스. 다음으로 x축을 따라 π, 2π 등으로 이동하여 그래프를 얻습니다. 와이 =tg엑스.

함수 그래프 와이 =tg엑스를 접선(tangentoid)이라고 하며, 그림에 표시된 그래프의 세 가지 가지가 접선의 주요 가지입니다.

4) 기능 와이 =tg엑스각 간격(- + ; +)에서 증가합니다.

5) 함수 그래프 와이 =tg엑스위나 아래에는 제한이 없습니다.

6) 기능 와이 =tg엑스가장 큰 값과 가장 작은 값은 없습니다.

7) 기능 와이 =tg엑스임의의 간격으로 연속 (- - π/2+π;π/2+π). 직선 π/2+π를 함수 그래프의 점근선이라고 합니다. 와이 =tg엑스, 왜냐하면 이 지점에서 함수 그래프가 중단됩니다.

8) 기능 값의 설정 와이 =tg엑스모든 실수가 호출됩니다.

추가 비디오 튜토리얼에는 다음과 같은 예가 제공됩니다. tg엑스. 문제를 해결하기 위해 함수 그래프 2개를 구성합니다. ~에그리고 이 그래프의 교차점을 찾으세요. 이것은 가로좌표가 πk만큼 다른 무한한 점 집합입니다. 이 방정식의 근은 다음과 같습니다. 엑스= π/6 +πk.

함수의 그래프를 고려하십시오 와이 =CTG엑스. 함수는 두 가지 방식으로 그래프로 표시될 수 있습니다.

첫 번째 방법은 그래프 구성과 유사하게 그래프를 구성하는 것입니다. 함수 y =tg엑스. 함수 그래프의 한 가지를 만들어 봅시다 와이 = ctg엑스줄 사이에 엑스= 0u 엑스= π. 그런 다음 대칭성과 주기성을 사용하여 그래프의 다른 가지를 구성합니다.

두 번째 방법은 더 간단합니다. 함수 그래프 y = сtgx감소 공식을 사용하여 탄젠트를 변환하여 얻을 수 있습니다. 와 함께tgx = - tg(x +π/2). 이를 위해 함수 그래프의 한 가지를 이동해 보겠습니다. y = tgx x축을 따라 오른쪽으로 π/2만큼 이동합니다. 나머지 가지들은 x축을 따라 이 가지를 π, 2π 등으로 이동하여 얻습니다. 함수 y = ctg의 그래프 엑스는 탄젠토이드(tangentoid)라고도 하며, 구간 (0;π)에 있는 그래프의 가지가 접선의 주요 가지입니다.

텍스트 디코딩:

우리는 y = tan x (y는 탄젠트 x와 같음), y = ctg x (y는 코탄젠트 x와 같음) 함수의 속성을 고려하고 그래프를 구성할 것입니다. 함수 y = tgx를 고려해보세요.

함수 y = tan x를 그리기 전에 이 함수의 속성을 적어 보겠습니다.

속성 1. 함수 y = tan x의 정의 영역은 x = + πk 형식의 숫자를 제외한 모든 실수입니다(x는 2분의 파이와 파이 ka의 합과 같습니다).

이는 이 함수의 그래프에서 x = 선(k = 0 ka가 0과 같으면 얻음) 및 선 x = (x는 마이너스 pi x 2와 같음)에 속하는 점이 없음을 의미합니다. k = - 1 ka는 마이너스 1과 같음) 및 직선 x = (x는 3pi x 2와 같음) (k = 1이 1과 같으면 얻음) 등. 이는 그래프가 함수 y = tan x는 직선 사이의 간격에 위치하는 무한한 수의 가지로 구성됩니다. 즉, x =와 x =- 사이의 대역에서; 스트립에서 x = - 및 x = ; 스트립에서 x = 및 x = 등등 무한히 계속됩니다.

속성 2. 함수 y = tan x는 주주기 π로 주기적입니다. (이중 평등이 사실이기 때문에

tan(x- π) = tanx = tan (x+π) x에서 pi를 뺀 탄젠트는 x의 탄젠트와 같고 x의 탄젠트에 pi를 더한 것과 같습니다. 우리는 탄젠트와 코탄젠트를 연구할 때 이러한 동등성을 고려했습니다. 그에게 상기시켜 봅시다:

허용되는 t 값에 대해 등식은 유효합니다.

tg(t + π)= tgt

ctg (t + π) = ctgt

이 동등성으로부터 x = - 및 x =의 간격으로 함수 y = tan x의 그래프 분기를 구성한 후 구성된 분기를 X 축을 따라 π, 2π만큼 이동하여 나머지 분기를 얻습니다. , 등등.

속성 3. y = tan x 함수는 tg (- x) = - tan x 등식이 참이므로 홀수 함수입니다.

함수 y = tan x를 그려봅시다.

이 함수는 주기적이고 무한한 개수의 분기(x =와 x = 사이의 스트립, x =와 x = 사이의 스트립 등)와 홀수로 구성되므로, 우리는 0에서 pi x 2() 간격으로 점별로 그래프를 그린 다음 원점과 주기성의 대칭성을 사용합니다.

플로팅을 위한 탄젠트 값 테이블을 만들어 보겠습니다.

첫 번째 점을 찾습니다. x = 0에서 tan x = 0(x는 0과 같고, tan x도 0과 같습니다)임을 알 수 있습니다. 다음 점: x = tan x = (x는 pi x 6과 같고 탄젠트 x는 3 x 3의 루트와 같습니다); 다음 사항에 유의하세요: x = tan x = 1(x는 pi x 4 tan x는 1과 같음), x = tg x = (x는 pi x 3 tan x x는 제곱근과 같습니다. 세 개 중). 결과 점을 좌표 평면에 표시하고 부드러운 선으로 연결합니다(그림 2).

함수의 그래프는 좌표 원점을 기준으로 대칭이므로 좌표 원점을 기준으로 동일한 가지를 대칭으로 구성합니다. (그림 3).

그리고 마지막으로 주기성을 적용하여 함수 y = tan x의 그래프를 얻습니다.

우리는 x = - 및 x =의 스트립에 y = tan x 함수 그래프의 분기를 구성했습니다. 구성된 가지를 X축을 따라 π, 2π 등으로 이동하여 나머지 가지를 만듭니다.

생성된 플롯을 접선이라고 합니다.

그림 3에 표시된 접선의 일부를 접선의 주 가지라고 합니다.

그래프를 기반으로 이 함수의 몇 가지 추가 속성을 적어보겠습니다.

속성 4. 함수 y = tan x는 각 구간에서 증가합니다(마이너스 파이에서 2 더하기 파이 카에서 파이에서 2 더하기 파이 카까지).

속성 5. 함수 y = tan x는 위나 아래에 제한이 없습니다.

속성 6. 함수 y = tan x는 최대값도 최소값도 없습니다.

속성 7. 함수 y = tan x는 형식의 모든 간격에서 연속입니다(마이너스 파이 2 더하기 파이 ka에서 파이 2 더하기 파이 ka까지).

x = + πk 형식의 직선(x는 2분의 파이와 파이 ka의 합과 같습니다)은 함수 그래프의 수직 점근선입니다. 왜냐하면 x = + πk 형식의 점에서 함수는 다음과 같은 문제를 겪기 때문입니다. 불연속.

속성 8. 함수 y = tan x의 값 집합은 모두 실수입니다. 즉, eff의 e는 마이너스 무한대에서 플러스 무한대까지의 간격과 같습니다.

예 1. 방정식 tg x = (탄젠트 x는 3x3의 근과 같습니다)를 풉니다.

해결책. 하나의 좌표계에서 함수 y = tan x의 그래프를 구성해 보겠습니다.

(y는 x의 탄젠트와 같습니다) 및 y = (y는 3을 3으로 나눈 루트와 같습니다).

우리는 가로좌표가 πk(pi ka)만큼 서로 다른 무한히 많은 교차점을 얻었습니다. tg x = at x =이므로 주 가지의 교차점 가로좌표는 (pi x 6)과 같습니다.

우리는 공식 x = + πk(x는 파이 곱하기 6 더하기 파이 카와 같음)로 이 방정식의 모든 해를 씁니다.

답: x = + πk.

함수 y = сtg x의 그래프를 만들어 보겠습니다.

두 가지 구축 방법을 고려해 보겠습니다.

첫 번째 방법이는 함수 y = tan x를 그리는 것과 유사합니다.

이 함수는 주기적이고 무한한 수의 가지(x = 0과 x =π 사이의 대역뿐만 아니라 x =π와 x = 2π 사이의 대역 등)와 홀수로 구성되므로 다음을 구성합니다. 0에서 pi x 2() 간격으로 그래프의 일부를 점별로 표시한 다음 대칭성과 주기성을 사용합니다.

코탄젠트 값 표를 사용하여 그래프를 작성해 보겠습니다.

결과 점을 좌표 평면에 표시하고 부드러운 선으로 연결합니다.

함수의 그래프는 상대적으로 대칭이므로 동일한 가지를 대칭적으로 구성하겠습니다.

주기성을 적용하여 함수 y = сtg x의 그래프를 얻습니다.

우리는 x = 0 및 x =π의 스트립에서 함수 y = сtg x의 그래프 분기를 구성했습니다. 우리는 구성된 가지를 x 축을 따라 π, - π, 2π, - 2π 등으로 이동하여 나머지 가지를 구성합니다.

두 번째 방법함수 y =сtg x를 플로팅합니다.

함수 y =сtg x의 그래프를 얻는 가장 쉬운 방법은 축소 공식을 사용하여 탄젠트를 변환하는 것입니다(코탄젠트 x는 x와 pi의 합에서 탄젠트를 2만큼 뺀 것과 같습니다).

이 경우 먼저 가로축을 따라 함수 y =tg x 그래프의 분기를 오른쪽으로 이동합니다.

y = tg (x+), 그리고 가로축을 기준으로 결과 그래프의 대칭을 수행합니다. 결과는 함수 y =сtg x의 그래프 분기가 됩니다(그림 4). 하나의 분기를 알면 함수의 주기성을 사용하여 전체 그래프를 작성할 수 있습니다. 구성된 가지를 x축을 따라 π, 2π 등으로 이동하여 나머지 가지를 구성합니다.

함수 y =сtg x의 그래프는 함수 y =tg x의 그래프와 마찬가지로 접선이라고도 합니다. 0에서 pi까지의 구간에 있는 가지를 함수 y = сtg x 그래프의 주 가지라고 합니다.

A점을 중심으로 합니다.
α는 라디안으로 표시되는 각도입니다.

탄젠트( 탄 α) 빗변과 직각 삼각형의 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수이며 반대쪽 다리 길이의 비율 |BC| 인접한 다리의 길이에 |AB| .

코탄젠트( CTG α) 빗변과 직각 삼각형 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수로, 인접한 다리 길이의 비율 |AB| 반대쪽 다리 길이만큼 |BC| .

접선

어디 N- 전체.

서양 문헌에서 탄젠트는 다음과 같이 표시됩니다.
.
;
;
.

접선 함수 그래프, y = tan x

코탄젠트

어디 N- 전체.

서양 문헌에서 코탄젠트는 다음과 같이 표시됩니다.
.
다음 표기법도 허용됩니다.
;
;
.

코탄젠트 함수의 그래프, y = ctg x

탄젠트와 코탄젠트의 속성

주기성

함수 y = tg x그리고 y = CTG X주기가 π인 주기적입니다.

동등

탄젠트 및 코탄젠트 함수는 홀수입니다.

정의 및 가치의 영역, 증가, 감소

탄젠트 및 코탄젠트 함수는 정의 영역에서 연속입니다(연속성 증명 참조). 탄젠트와 코탄젠트의 주요 속성은 표에 나와 있습니다 ( N- 전체).

방식

사인과 코사인을 사용한 표현식

; ;
; ;
;

합과 차이의 탄젠트와 코탄젠트 공식

나머지 공식은 쉽게 구할 수 있습니다. 예를 들어

접선의 곱

탄젠트의 합과 차이에 대한 공식

이 표는 인수의 특정 값에 대한 탄젠트 및 코탄젠트 값을 나타냅니다.

복소수를 사용한 표현식

쌍곡선 함수를 통한 표현

;
;

파생상품

; .

.
함수의 변수 x에 대한 n차 도함수:
.
탄젠트 공식 도출 > > > ; 코탄젠트의 경우 > > >

적분

시리즈 확장

x의 거듭제곱으로 접선의 확장을 얻으려면 함수에 대한 거듭제곱의 확장에 대한 여러 항을 취해야 합니다. 죄 x그리고 왜냐하면 x그리고 이 다항식을 서로 나누면 . 그러면 다음과 같은 공식이 생성됩니다.

에 .

에 .
어디 대- 베르누이 수. 이는 재발 관계에서 결정됩니다.
;
;
어디 .
또는 Laplace의 공식에 따르면:

역함수

탄젠트와 코탄젠트의 역함수는 각각 아크탄젠트와 아크코탄젠트입니다.

아크탄젠트, arctg

, 어디 N- 전체.

아크코탄젠트, arcctg

, 어디 N- 전체.

참고자료:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.
G. Korn, 과학자 및 엔지니어를 위한 수학 핸드북, 2012.

, [-5π/2; -3π/2],. . . - 한마디로 모든 세그먼트에서 [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk], 여기서 k Z이고 모든 세그먼트에서 감소합니다.

[π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], 여기서 n은 Z입니다.

문제 11.6. 어느 세그먼트에서 함수 y = cos x가 증가하고 어느 세그먼트에서 감소합니까?

문제 11.8. 오름차순으로 정렬합니다: sin 1, cos 2, sin 3, cos 4, sin 5, cos 6.

§ 12. 탄젠트 및 코탄젠트 그래프

함수 y = tan x를 플로팅해 보겠습니다. 먼저 구간 (−π/2; π/2)에 속하는 숫자 x에 대해 구성해 보겠습니다.

x = 0이면 tan x = 0입니다. x가 0에서 π/2로 증가하면 tan x도 증가합니다. 이는 접선 축을 보면 알 수 있습니다(그림 12.1a). x가 π/2에 접근하면 더 작아집니다.

쌀. 12.2. y = 황갈색 x.

π/2에 도달하면 tan x 값이 증가하고(그림 12.1a의 M점은 점점 더 높아집니다) 분명히 임의로 큰 양수가 될 수 있습니다. 마찬가지로 x가 0에서 -π/2로 감소하면 tan x는 x가 -π/2에 가까워질수록 절대값이 증가하는 음수가 됩니다. x = π/2 또는 −π/2의 경우 함수 tan x는 정의되지 않습니다. 따라서 x(−π/2; π/2)에 대한 그래프 y = tan x는 대략 그림 1과 같습니다. 12.1ㄴ.

좌표 원점 근처에서 우리 곡선은 직선 y = x x에 가깝습니다. 결국 작은 예각의 경우 대략적인 평등 tg x ≒ x가 참입니다. y = x 선이 원점에서 y = tan x 함수의 그래프와 접촉한다고 말할 수 있습니다. 게다가 그림 12.1b의 곡선은 원점을 기준으로 대칭입니다. 이는 함수 y = tan x가 홀수라는 사실, 즉 항등식 tg(−x) = − tan x가 유지된다는 사실로 설명됩니다.

모든 x에 대해 함수 y = tan x를 플롯하려면 tan x가 주기 π를 갖는 주기 함수라는 점을 상기하십시오. 따라서 함수 y = tan x의 완전한 그래프를 얻으려면 그림 1의 곡선을 무한히 반복해야 합니다. 12.1 b, 가로좌표를 따라 거리 πn으로 이동합니다. 여기서 n은 정수입니다. 함수 y = tan x 그래프의 최종 보기는 그림 1에 나와 있습니다. 12.2.

그래프에 따르면, 우리는 함수 y = tan x라는 것을 다시 한 번 알 수 있습니다.

쌀. 12.3. y = cot x.

x = π/2 + πn, n Z, 즉 cos x = 0인 x에 대해서는 정의되지 않습니다. 방정식 x = π/2, 3π/2,의 수직선. . . , 그래프 접근의 가지를 그래프의 점근선이라고 합니다.

같은 그림에서. 12.2에서 우리는 방정식 tg x = a에 대한 해를 묘사했습니다.

함수 y = cot x를 플로팅해 보겠습니다. 가장 쉬운 방법은 축소 공식 ctg x = tan(π/2 − x)를 사용하여 이전 단락에서 설명한 것과 유사한 변환을 사용하여 함수 y = tan x의 그래프에서 이 그래프를 얻는 것입니다. 결과는 그림 1에 나와 있습니다. 12.3

문제 12.1. 함수 y = ctg x의 그래프는 특정 선에 대한 대칭을 사용하여 함수 y = tan x의 그래프에서 얻습니다. 어느 것? 이 속성에 다른 노선이 있나요?

문제 12.2. 좌표(π/2; 0)가 있는 점에서 함수 y = cot x의 그래프에 접하는 직선의 방정식은 어떻게 보입니까?

문제 12.3. 숫자를 비교하십시오: a) tg(13π/11) 및 tg 3.3π; b) tan 9.6π 및 cot(−11.3π).

문제 12.4. 숫자를 오름차순으로 정렬하세요: tg 1, tg 2, tg 3, tg 4, tg 5.

문제 12.5. 함수를 그래프로 표시합니다.

문제 12.7. 함수 y = arctan x + arctan(1/x)을 플로팅합니다.

§ 13. sin x + cos x는 무엇입니까?

이 섹션에서 우리는 다음 문제를 해결하려고 노력할 것입니다: sin x + cos x 표현식이 취할 수 있는 가장 큰 값은 무엇입니까?

올바르게 계산했다면 이 표에 포함된 모든 x 중에서 가장 큰 값은 sin x + cos x라는 것을 알았을 것입니다.

45°에 가까운 x 또는 라디안 단위로 π/4에 대해 구합니다.

x = π/4이면 sin x+cos x의 정확한 값은 2입니다. 결과는 실험적으로 얻은 것으로 나타났습니다.

실제로는 참입니다. 모든 x에 대해 불평등 sin x + cos x 6은 참입니다.

2이므로 이 표현식에서 허용되는 가장 큰 값은 2입니다.

이러한 불평등을 가장 자연스러운 방식으로 증명할 수 있는 수단이 아직 충분하지 않습니다. 지금은 이를 면적 측정 문제로 줄이는 방법을 보여 드리겠습니다.

0이면< x < π/2, то sin x и cos x - катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и острым углом x (рис. 13.1 ).

따라서 우리의 과제는 다음과 같이 재구성됩니다. 빗변이 1인 직각삼각형의 다리 길이의 합이 이등변삼각형인 경우 최대가 된다는 것을 증명하는 것입니다.

문제 13.1. 이 진술을 증명하십시오.

HY를 갖는 이등변 직각삼각형이기 때문에-

Potenuse 1, 다리 길이의 합은 2√와 같습니다. 이 문제의 결과는 구간 (0; π/2)에 있는 모든 x에 대한 부등식 sin x + cos x 6 2를 의미합니다. 여기에서 이 부등식이 일반적으로 모든 x에 적용된다는 결론을 내리는 것은 어렵지 않습니다.

문제 13.1의 결과는 직각삼각형에만 해당되는 것이 아닙니다.

문제 13.2. 주어진 변 AC와 각도 B의 값을 갖는 모든 삼각형 중에서 가장 큰 합 AB + BC는 밑변 AC를 갖는 이등변삼각형에 대한 것임을 증명하십시오.

삼각법으로 돌아가 보겠습니다.

문제 13.3. § 3의 사인표를 사용하여 함수 y = sin x + cos x의 점별 그래프를 구성합니다.

메모. x는 라디안으로 표현되어야 한다는 점을 기억하세요. 구간 밖의 x 값에 대해서는 축소 공식을 사용합니다.

모든 작업을 올바르게 수행했다면 사인파처럼 보이는 곡선이 나타날 것입니다. 나중에 우리는 이 곡선이 유사할 뿐만 아니라 정현파라는 것을 알게 될 것입니다. 또한 3 sin x + 4 cos x와 같은 표현식의 가장 큰 값을 찾는 방법을 배웁니다. (그런데 함수 y = 3 sin x + 4 cos x의 그래프도 정현파입니다!)